卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯( 四 )

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柏林工业大学他高尚的风範和精湛的教学艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典範。1873年魏尔斯特拉斯出任柏林大学校长，从此成为大忙人。除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪。紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退。他的70年诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬。10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然上逝，享年82岁。除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是哥廷根皇家科学学会会员（1856）、巴黎科学院院士（1868）、英国皇家学会会员（1881）。分析的算术化孕育于古希腊时代的微积分的思想与方法，经过漫长时期的酝酿，到了十七世纪，在工业革命的刺激下，终于通过Newton和Leibniz的首创脱颖而出了。微积分的诞生，创造性地把数学推到了一个崭新的高度。它宣告了古典数学的基本结束，同时标誌着以变数为研究主体的近代数学的开始。儘管早期的微积分的概念还比较粗糙，可靠性还受到怀疑，但它在计算技术上展示出来的那种卓越的力量，使得前此一切传统数学都相形见绌。透过微积分的发明，人们看到了数学的新的福地。整个十七、十八世纪，几乎所有的欧洲数学家都对微积分表现出极大的兴趣和积极的奉献。对传统的批判，对新方法的追求，对新领域的拓展，使他们共同谱写了一曲数学史上的“英雄交响曲”！正如当代分析大师R.Courant指出：“微积分…这一学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域。并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”“分析算术化”就是这种奋斗的一个侧面的生动体现。

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英国数学家、物理学家牛顿挥之不去的“幽灵”微积分创立之初，Newton和Leibniz都没有清楚地理解也没有严密地定义微积分的基本概念。首先的批评来自荷兰的物理学家和几何学家B.Nieuwentijdt，他批评新方法的含糊，他抱怨说无法理解无穷小量怎样和0有区别，并质问为什幺无穷小量的和能是有限的量。他还质问高阶微分的意义和存在，质问在推理的过程中为何捨弃无穷小量。Leibniz在1695年的《教师学报》的一篇文章中对此作了各种回答，他承认无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零。就是说，它是一个消失的量，但仍保持着它那正在消失的特徵。Leibniz更强调他所创造的东西在做法上或算法上的价值。他确信只要他清楚地表述并且恰当地运用他的运算法，就会获得合理而正确的结果，而不管所用符号的意义怎样可疑。随着微积分的概念与技巧的扩展，人们努力去补充被遗漏的基础。Newton的英国追随者试图把微积分和几何或物理概念联结起来时，却把Newton的“瞬”（moments,不可分增量）和“流数”（fluxions,连续变数）混淆了；追随Leibniz的大陆学者致力于形式演算，也无法把概念严格化。法国数学家M.Rolle告诫说：微积分是巧妙的谬论的汇集。十八世纪对微积分最强有力的批评来自George Berkeley主教。1734年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推理是否比之宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》。Berkeley正确地批判了Newton的许多论点，他说Newton首先给出x一个增量，然后又让它是零，这违背了“背反律”(the law of contradiction)，而且所得的“流数”实际上是 00。对于dy与 dx之比，Berkeley说它们“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，这些变化率只不过是“消失的量的鬼魂”(the ghosts of departed quantities) 。Berkeley还攻击l’Hospital和其他欧洲学者提出的微分法。Berkeley说微分之比应该决定割线而不是决定切线，依靠“忽略高级无穷小消除误差”的做法是“错误互相抵偿” 。Berkeley的批评一针见血，击中要害。按照数学本质的现代观点，Berkeley批评中哲学的想像多于数学的严格，但Newton 所用的很多名词确实需要逻辑上的澄清。Berkeley批评的意义在于使这一事实引起了重视。结果，在此后的七年中，出现了约有30多种小册子和论文，企图纠正这种情形。如James Jurin于1734年发表《几何学，非不信教的朋友》，Benjamin Robins在1735年着书《论Newton爵士的流数法以及最初比与最终比方法的本质与可靠性》。为了答覆Berkeley对Newton在《求积术》中给出的求流数方法的异议，Jurin说：在这种情况下，不是令增量为零，而是让增量“成为消失”或“处在消失点上”，并声称“消失的增量是有最终比的” 。Jurin回答表明他没有足够地理解Berkeley的论证或极限概念的本质。Berkeley在《捍卫数学中的自由思想》（1735）中批评Jurin是在“捍卫他所不了解的东西” 。在这篇着作中，Berkely再次抓住Newton观点中的矛盾，以说明瞬、流数和极限等概念的含糊不清。Jurin同年在《小小数学家》中的回答，依然是躲躲闪闪地重複其辞。他说“一个初生的增量是一个刚开始存在于乌有中的增量，或刚开始生长的增量，但是还没有达到任何可指定的无论怎样小的量。”他对Newton的最终比还是照字义理解为“在消失那个瞬间的它们的比。”Jurin不用极限去解释Newton关于乘积的“瞬”的引理，反而让自己捲入了无穷小量的纠缠之中，可见这个“消失的量的鬼魂”是很难挥之而去的。为了回击Berkeley, Colin Maclaurin在他的《流数论》（1742）中，企图建立微积分的严密性。Maclaurin喜爱几何，因而他试图根据希腊几何和穷竭法建立流数学说，他希望这样可以避开极限概念。这是一个值得讚扬，却不正确的努力。