卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯( 五 ) _生活百科

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德国数学家莱布尼茨

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英国主教乔治·贝克莱

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英国数学家麦克劳林新的探路者当英国的数学家们忙于论证流数法中所涉及的各种观点的有效性时，微积分在欧洲大陆上正在快速地获得人们的欢迎。欧洲大陆的数学家更多的依靠代数表达式的形式演算，而不是几何。这种方法的代表是Euler 。Euler拒绝把几何作为微积分的基础，而是纯粹形式地研究函式。Euler形式化的方法的真正贡献是把微积分从几何中解放出来，而使它建立在算术和代数的基础上。这一步至少为基于实数系统的微积分的根本论证开闢了道路。但是，对这种形式主义的做法，仍有人表示忧虑。1743年d’Alembert说，“直到现在，表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在入口处张灯结彩；是把房子盖的更高些，而不是给基础补充适当的强度。”不过，他鼓励学习微积分的学生：“坚持，你就会有信心。(Persists and faith will come to you.)”Lagrange也决心给微积分提供全部的严密性，这从他《解析函式论》（1797）的小标题“包含着微积分学的主要定理，不用无穷小、或正在消失的量、或极限和流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术”可以看出他的雄心壮志。的确，流数法没有引起Lagrange的兴趣，因为它引用了”运动”这一无关的思想。Euler把dx和dy作为0的讲法也不能使他满意，因为对两个变成零的项的比，缺乏清楚而明确的认识。Lagrange致力于寻找一个简单的代数方法。在1759年，他似乎满足地认为已找到这个方法，因为在那一年，他写信给Euler说，他相信已研究出力学和微分学原理儘可能深的真正理论基础。不过，特别要指出，Lagrange的工作纯粹是形式的，他用符号表达式来进行计算，不涉及极限、连续等根本性的概念。在十八世纪行将结束的时候，1797年出现了Lazare Carnot所写的《关于无限小微积分的哲学思想》，这可能是解决困难的一次最着名的尝试。鑒于当时流行的有关微积分学的论文缺乏明确性和统一性，Carnot想搞出一套严格精确的理论。考虑到这一学科许多矛盾的理解，Carnot的目的是澄清“无限小分析真正的精神是什幺。”在选择统一的原理时，却做出了一个遗憾的选择。他总结说，“无限小分析的真正的哲学原理…仍然是…误差补偿原理。”在阐述这一观点时，他实质上返回到Leibniz表达过的思想上去。他主张要肯定两个指定量严格相等，只要证明它们的差不能是一个“指定量”就够了。Carnot进一步注释Leibniz的观点说：我们可以把任意一个量换成另一个与它相差无限小的量；无限小的方法只不过是把穷竭法简化为一种计算方法；“无法感觉的量”只起辅助作用，引入它只是为了计算的方便，在得到最后结果以后就可以消除它。Carnot甚至用连续性定律(principle de continuite)来重複Leibniz所偏爱的解释。他说，可以有两种观点来理解无限小分析，看你是把无限小当作“有效量”，还是当作“绝对的零” 。在第一种情况中，Carnot认为微分学可以用误差补偿作为基础来解释：“不完美方程”通过消除一些称为误差的量这一简便的手段，就变成“完美精确”的了；在第二种情况，Carnot认为微分学是相互比较消失量的一种“艺术”，从这些比较中寻找出那些给出量之间的关係。对于消失量既是零又不是零这种反对意见，Carnot回答说，“所谓无限小量并不是任意的零，而是为决定关係的那个连续性定律所给出的零。”虽然Carnot的着作受到了普遍的欢迎，直到1921年还在法国出版，并译成了好几种文字，但很难评价它是否正确引导了人们对分析学所包含的困难有较清楚的理解。Carnot是一个着名的军人、行政人员，并受到法国议会授予的“胜利的组织者”(Organizer of Victory)的称号。作为一个强调数学的价值是与科学套用关係的数学家，分析学在他的思想中是方程而不是函式概念，儘管从他的书名看是偏重于理论，但书中对运算法则在套用上的方便，比所涉及的逻辑推理更加受到注意。十八世纪的几乎每一个数学家都对微积分的逻辑基础作了一些努力，虽然一二个路子对头，但所有的努力都没有结果。在缺乏基础的情况下，怎幺对各种函式进行分析演算呢？那就是：在他们的心里依靠物理和直观，在他们的手中有着简单的代数函式——从简单而具体的函式中发现性质，然后推广到所有的函式上去。他们施展了高超的技巧，发掘并增进了微积分的威力，大刀阔斧的拓展新的领地：无穷级数、微分方程、微分几何和变分法，从而建立起现在数学中最广阔的领域——数学分析。十八世纪的数学家们完全陶醉于自己取得的伟大成就，对于失去的严密性大都无动于衷。正是因为十八世纪的数学家们在没有逻辑支持的情况下，仍如此勇敢地冲杀向前，所以这段时期被称为数学的“英雄年代(the heroic age ) ”。