卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯( 六 ) _生活百科

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瑞士数学家欧拉

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法国数学家达朗贝尔

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法国数学家拉格朗日

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法国数学家和工程师拉扎尔·卡诺

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德国数学家高斯分析中注入严密性1826年2月12日，Lobatchevshy在喀山大学宣读了他的论文《论几何原理》，这一天被认为是非欧几何诞生的日子。数学的观念注定要在十九世纪发生根本的改变。也许是历史的巧合，Abel在1826年给友人的信中表露出对分析的忧虑：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计画和体系的分析，竟有那幺多人能研究它，真是奇蹟。最坏的是，从来没有严格对待过分析。在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论。”真正在分析中注入严密性的工作是从Bolzano、Cauchy、Abel和Dirichlet的工作开始，而由Weierstrass进一步发展了的。Bolzano是波希米亚的教士和哲学家。1799年Gauss曾从几何方面考虑，给出了代数基本定理—— 每一个有理的整数次方程必有一根 ——的一个证明。而Bolzano想要有一个单从算术、代数与分析推导出来的证明。正如Largrange认为没有必要将时间与运动引入数学一样，Bolzano在他的证明中力求避免涉及空间直观。这样，首先就需要有一个合适的连续性定义。实际上，当Pythagoras学派以数去代替几何量时，所遇到的就是连续性的困难；Newton试图藉助连续运动的直观来避免这个困难，Leibniz则用他的连续性公设来绕过这个问题。如今，分析学又把数学家们领回到了历史的起点。使得数学史家们困惑不解的是这一历史性的突破，为什幺会发生在远离欧洲数学中心的布拉格！Bolzano第一次明确指出连续观念的基础存在于极限概念之中：函式f(x)如果对于一个区间内的任一值x，和无论是正或负的充分小的Δx，差f(x+Δx)- f(x)始终小于任一给定的量时，Bolzano定义这个函式在这个区间内为连续。这个定义和稍后Cauchy的定义没有什幺主要的差别。1843年，Bolzano给出了一个不可微分的连续函式的例子——这个例子在数学中作用，好比判决性实验(crucial experiment) 在科学中一样，澄清了几个世纪以来由几何或物理的直观所造成的印象，表明连续函式未必有导数！然而，由于Bolzano的工作大部分湮没无闻，他的这些观点对当时的微积分并未产生决定性的影响。关于连续函式不可微分的问题，也要等到三分之一世纪以后，由Weierstrass的着名的例子才再次引起人们的关注。也许Weierstrass的例子没有早出现反到是微积分发展史上的幸事，正如Emile Picard在1905年所说的那样：“如果Newton和Leibniz知道了连续函式不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想有时也可以阻碍创造。在关于微积分基础的混沌一片的争议中，Cauchy看出核心问题是极限。Cauchy的极限概念是基于算术的考虑的，但他在定义中“一个变数无限趋于一个极限”的说法，受到Weierstrass的批评 “这种说法不幸的使人们想起时间和运动” 。为了消除Bolzano和Cauchy在定义函式连续性和极限中用到的描述性的语言“变为而且保持小于任意给定的量”的不确定性，Weierstrass给出了着名的“ε-N（ε-δ）”定义。“ε-N（ε-δ）”定义第一次使极限和连续性摆脱了与几何和运动的任何牵连，给出了只建立在数与函式概念上的清晰的定义，从而使一个模糊不清的动态描述，变成为一个严密叙述的静态观念，这不能不认为是变数数学史上的一次重大创新。今天“ε-N（ε-δ）”语言的精髓已经深入到现代数学的每一根血管,牵动着每一根神经。正因如此，Hilbert认为：“Weierstrass 以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函式、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。······今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度······本质上应归功于Weierstrass 的科学活动” 。在极限有了严格的定义后，无穷小作为极限为0的变数，被归入到函式的範畴，再也不是混在Archimedes数域里的一个桀骜不驯的冥灵了。在极限、无穷小和函式的连续性等概念得到澄清后，分析中一些重要的性质陆续登场。Weierstrass在1860年套用Bolzano的“最小上界原理”证明了“聚点原则”，在柏林的讲义中，Weierstrass证明了闭区间上连续函式的最值定理。1870年，Heine定义了一致连续性，而后证明有界闭区间上连续函式一致连续。在Heine的证明中，他利用了“有限覆盖”性质，这一性质后为Emile Borel叙述为一个独立的定理(1895) 。“区间套”的性质要到1892年才为Bachmann所认识。连续性与可微性、连续性与可积性、无穷级数的收敛性也都得到了深入的研究。