1 概率与统计进阶——概率统计的基础概念：条件概率、全概率、贝叶斯公式 _概率

【1概率与统计进阶——概率统计的基础概念：条件概率、全概率、贝叶斯公式】文章目录2. 通理和思维 2.2 思维（经验/技巧） 3. 条件概率4. 全概率5. 贝叶斯公式总结
从本质上理一下概率的基本概念，以及几个重要的公式。1. 基本（核心）概念事件与样本点现实世界数学规律
现实
概率论
事（情）
事件
（某件事情发生的）可能性
（某个事件A发生的）概率
（某件事情发生的）所有可能
样本空间Ω
（发生这件事其中的）一种可能性
（一个）样本点
2. 通理和思维 2.1 通理概率的加法法则
定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+…+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)
推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+…+An)=1
推论3：
为事件A的对立事件。
推论4：若B包含A，则P(B－A)= P(B)－P(A)
推论5（广义加法公式）：
对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
概率的乘法法则
(乘法法则由条件概率公式推到而来)
条件概率计算公式：
当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)
可以推出乘法公式：
P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)
2.2 思维（经验/技巧）

文章插图
不同的角度看待——不同的事物/事件——不同的样本空间：无论什么问题，一定要先搞清当前问题的空间是什么
所谓条件概率，本质上就是更换了"样本空间“
一切概率皆可看做条件概率
比如，P(A) = P(A|Ω)
3. 条件概率
概念：
大学教科书上的定义：条件概率既是指当某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率；
条件概率是指某个事件 B 对样本空间 Ω 的某个子集的概率，而与其它某个事件是否真的发生与否无关，唯一变化的是计算概率的样本空间发生了改变而已。
比如，通常情况下，我们有事件 B 的概率 ()= B Ω \frac{B}{Ω} ΩB?，但是如果我们将事件 B 所参照的样本空间 Ω 变为，且是 Ω 的子集，B 与存在交集 BS，这时 B 相对于前提条件的概率为：
数学上，将上式中的 ()′ 表示为 (|)，所以我们有：
令上式 S 为 A，则推导出乘法公式：
实际上，()?(|) 求解的就是 ∩ 相对于 Ω 的概率；而 (|) 实际上求解的是 ∩ 相对于的概率。
4. 全概率
书中全概率公式的定义：
其实，其本质就是将样本空间Ω分为互斥的事件1,2,?,，再利用互斥事件的加法，配合乘法规则（条件概率公式）推导得到。
即：
P(A)
=P(AΩ)
=P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2 )+ … + P(Bn)P(A|Bn)
5. 贝叶斯公式
概念
高等教育出版社出版的《概率论与数理统计教程》第二版中的定义：

文章插图
以上公式不是糊弄人的是什么？
钟开莱所著《初等概率论》中对贝叶斯公式的定义：
实际上贝叶斯公式的定义有如下两种方式:
贝叶斯公式 1
这种方式和钟开莱所定义一致，只是笔者换种数学形式对其进行描述，
解读：
A 事件发生了，比如出现了杀人事件 A，正常情况下我们可以把 A 叫”结果“，这时，我们要去找导致 A 发生的原因了，这个“原因”是什么我们是无法得知的，但是我们可以从诸多可能中，即从可能的凶手1,2,?, 中找出可能性最大的那个。即，我们的目标是求得所有嫌疑人 Bi参与这起案件的概率 P(Bi|A)，并找出最大的那个。结合上面的图，即找出”瓜分“阴影 A范围最大的那个 Bi 。