图解DFT,DTFT,DFS,FFT,FT,FS区别与联系 _信号

很多同学学习了数字信号处理之后，被里面的几个名词搞的晕头转向，比如DFT ， DTFT ， DFS ， FFT ， FT,FS等， FT和FS属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这里就不过多讨论，只解释一下前四者的关系。
首先说明一下，我不是数字信号处理专家，因此这里只站在学生的角度以最浅显易懂的性质来解释问题，而不涉及到任何公式运算。
学过卷积，我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理，在这里只需要记住两点：1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积；2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。(在任何一本信号与系统课本里，此两条性质有详细公式证明)
下面，就用这两条性质来说明DFT ， DTFT ， DFS ， FFT之间的联系：
先看图片：

文章插图
首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT( )得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！
但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样，采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4) ，可见它的频谱也是一系列的脉冲。所谓时域采样，就是在时域对信号进行相乘， (1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n] ，如图(5)所示；由前面的性质1 ，时域的相乘相当于频域的卷积，那么，图(2)与图(4)进行卷积，根据前面的性质2知，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6) ，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT( time) ，即离散时间傅立叶变换，这里强调的是“离散时间”四个字。注意2：此时时域是离散的，而频域依然是连续的。
经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7) 。现在我们进行频域采样，即频域相乘，图(6)×图(8)得到图(10) ，那么根据性质1 ，这次是频域相乘，时域卷积了吧，图(5)和图(7)卷积得到图(9) ，不出所料的，镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处。我们取图（10）周期序列的主值区间，并记为X(k) ，它就是序列x[n]的DFT() ，即离散傅立叶变换。可见， DFT只是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已。有人可能疑惑，对图(10)进行IDFT ，回到时域即图(9) ，它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！没错，因此你去查找一个IDFT的定义式，是不是对n的取值区间进行限制了呢？这一限制的含义就是，取该周期延拓序列的主值区间，即可还原x[n]！