很多同学学习了数字信号处理之后 , 被里面的几个名词搞的晕头转向 , 比如DFT , DTFT , DFS , FFT , FT,FS等 , FT和FS属于信号与系统课程的内容 , 是对连续时间信号的处理 , 这里就不过多讨论 , 只解释一下前四者的关系 。
首先说明一下 , 我不是数字信号处理专家 , 因此这里只站在学生的角度以最浅显易懂的性质来解释问题 , 而不涉及到任何公式运算 。
学过卷积 , 我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理 , 在这里只需要记住两点:1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积;2.与脉冲函数的卷积 , 在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像 。(在任何一本信号与系统课本里 , 此两条性质有详细公式证明)
下面 , 就用这两条性质来说明DFT , DTFT , DFS , FFT之间的联系:
先看图片:
![图解DFT,DTFT,DFS,FFT,FT,FS区别与联系](http://img.gansulong.com/230621/033345B07-0.jpg)
文章插图
首先来说图(1)和图(2) , 对于一个模拟信号 , 如图(1)所示 , 要分析它的频率成分 , 必须变换到频域 , 这是通过傅立叶变换即FT( )得到的 , 于是有了模拟信号的频谱 , 如图(2);注意1:时域和频域都是连续的!
但是 , 计算机只能处理数字信号 , 首先需要将原模拟信号在时域离散化 , 即在时域对其进行采样 , 采样脉冲序列如图(3)所示 , 该采样序列的频谱如图(4) , 可见它的频谱也是一系列的脉冲 。所谓时域采样 , 就是在时域对信号进行相乘 , (1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n] , 如图(5)所示;由前面的性质1 , 时域的相乘相当于频域的卷积 , 那么 , 图(2)与图(4)进行卷积 , 根据前面的性质2知 , 会在各个脉冲点处出现镜像 , 于是得到图(6) , 它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT( time) , 即离散时间傅立叶变换 , 这里强调的是“离散时间”四个字 。注意2:此时时域是离散的 , 而频域依然是连续的 。
经过上面两个步骤 , 我们得到的信号依然不能被计算机处理 , 因为频域既连续 , 又周期 。我们自然就想到 , 既然时域可以采样 , 为什么频域不能采样呢?这样不就时域与频域都离散化了吗?没错 , 接下来对频域在进行采样 , 频域采样信号的频谱如图(8)所示 , 它的时域波形如图(7) 。现在我们进行频域采样 , 即频域相乘 , 图(6)×图(8)得到图(10) , 那么根据性质1 , 这次是频域相乘 , 时域卷积了吧 , 图(5)和图(7)卷积得到图(9) , 不出所料的 , 镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处 。我们取图(10)周期序列的主值区间 , 并记为X(k) , 它就是序列x[n]的DFT() , 即离散傅立叶变换 。可见 , DFT只是为了计算机处理方便 , 在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已 。有人可能疑惑 , 对图(10)进行IDFT , 回到时域即图(9) , 它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀 , 它是x[n]的周期性延拓!没错 , 因此你去查找一个IDFT的定义式 , 是不是对n的取值区间进行限制了呢?这一限制的含义就是 , 取该周期延拓序列的主值区间 , 即可还原x[n]!
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