什么是DFT？FT、FS、DTFT、DFS、DFT的关系 _dft

本文不会对FT的公式进行介绍，仅从应用角度梳理一下FT、FS、DTFT、DFS、DFT之间的关系，需要对傅里叶变换有基础了解。
FT的本质
傅里叶变换，即将一个信号拆分成不同频率的cos和sin分量的叠加。得到的是这些不同频率分量的幅值。
FT、FS、DTFT、DFS、DFT的关系
1. FT：假如你有一颗上帝之眼（FT）可以纵观历史和未来无限信号，看清他们的频谱(下图FT) 。
2. FS：但是作为人类的我们无法看到无限的时间跨度，或者说我们只关心当前的一段信号；于是我们使用一个窗口把无限的信号截断，并认为在这段时间之前和未来的信号都是窗口内的信号的重复。于是我们得到了窗口内信号的频谱采样(下图FS) 。
3. DTFT：假如入你有一个神的计算机，它可以从遥远的过于至无尽的未来对世界的信号进行采样得到无限采样信号，并计算出无限采样信号的周期频谱（下图DTFT，理想频谱的周期叠加）
4. DFS：但是作为人类的我们只有普通计算机，我们在无限的时间尺度上使用一个窗口截取一段采样信号，并认为在这段时间之前和未来都是窗口内信号的重复。于是我们计算机计算出窗口内一段采样信号的周期频谱采样（下图DFS，理想频谱采样FS的周期叠加）。
5. DFT：DFS的频谱是周期的，于是我们只取一个周期分析即可（下图DFT)，于是我们使用普通的计算机就可以得到一段采样信号的频谱采样。
到这里我么就可以利用计算机使用加窗和采样的方式来分析现实世界中信号的的频谱了，其中窗口大小和采样率需要遵循一定的准则。
他们的关系总结如下：
【什么是DFT？FT、FS、DTFT、DFS、DFT的关系】简单来说，理想状态是得到现实信号的FT，但是受限于各种因素，我们只能使用DFT去近似分析。而FFT则是DFT的一种实现算法。