搞清FT , DFT , DTFT , DFS之间的关系 _序列

对于连续周期信号，可以使用傅里叶级数分析频域
对于连续非周期信号，可以通过傅里叶变换分析频域 (FT)
傅里叶变换中，时域和频域都是连续的
我们可以对时域进行采样：时域乘上采样序列，频域卷上采样序列的频谱，此时，会用到两个定理：
定理1：一个域的相乘等于另一个域的卷积
定理2：与脉冲函数的卷积，会在每个脉冲的位置上将产生一个原始波形的镜像
我们列出采样序列和采样序列的频谱：
使用定理一和定理二：时域相乘，频域相卷；与脉冲函数卷积是在每个脉冲函数处产生镜像，有：
这就是DTFT：时域离散，频域连续
为了便于计算机处理，时域和频域都必须要是离散的，所以我们继续对频域采样（时域相卷即可）
频域采样序列就要像（3）一样，有很多个等间隔序列，并且其是在频域中（正好和（3），（4）的时域频域相反），频域采样序列的时域图和频域图如下所示

文章插图
【搞清FT , DFT , DTFT , DFS之间的关系】此时对DTFT的图像频域相乘，时域相卷，有：
我们取（10）的主值区间，就是DFT（源序列频谱只在中间有值，这里周期延拓了，所以要想表达原序列，只能取主值序列），如果不取主值区间，取整个周期延拓，就是DFS
对（10）进行IDFT（对所有周期延拓的项，而不仅仅是主值区间），便能得到时域图，此时再取主值区间，就能变成原始序列的离散序列。
有限长序列x（n）
有限长频谱X（K）得到的是DFT （离散傅里叶变换）
周期序列
（n）
周期频谱
（K）得到的是DFS （周期序列的傅里叶级数）
两者关系：
x（n）是
（n）取主值，X（K）是
（K）取主值
对一个序列 N 点 DFT：对其频域抽样N点（一个周期内）
对一个序列 FT：对其傅里叶变换
对一个序列 DTFT ：对其时域抽样
注意：
1. DFT和IDFT最后结果都要取主值区间，但是相互变换的时候，是用整个周期延拓去变换
2. 我们的目的是将源模拟信号（1）和（2）离散化，所以出现了周期延拓就和源模拟信号不符合了，我们才想到去取主值区间，才可以符合源模拟信号的分布
3. DFT和DFS实际上原理都是一样的，只不过DFT是对DFS取主值序列，IDFT是对IDFS取主治序列
参考博客：一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系的博客-CSDN博客