在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc

有关求解最值的问题很多,题目的类型也很多,一般都是放在选择题压轴题的位置上或填空题的压轴题的位置上 。很多同学对动点几何最值问题很畏惧,不知如何下手分析,做题没思路 。笔者认为这是模型积累不够的表现,几何的基础是图形的性质,而不同的图形性质可以搭建出各个模型,从而演化出我们熟悉的典型题目 。
在日常学习中,同学们如果只是粗略地将所有练习题做一遍,而拒绝总结归类,可能最终并不会有太多收获 。更重要的是,在遇到模型叠加及综合后,是否可以准确判断出相关模型及切入点,决定了一道几何题能否在规定时间内被攻破 。其次,不会做几何辅助线,往往是对关键词不敏感 。
做几何题的重点在于多种模型综合运用,对模型的熟练掌握直接体现为:题中出现关键字眼的时候可以马上在脑中反应出多种做法,并挑选出正确的做法 。此外,对几何模型的掌握绝不能一知半解,否则很容易陷入错误解法的怪圈 。今天我们推出一种解决最值问题的模型:定边对定角模型 。

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模型探究如图,在△ABC中,AB=4,∠ACB=90°,
(1)求△ABC的最大面积 。
(2)求AC+BC的最大值 。
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分析:本题中有两问,我们首先来研究第一问:
在条件中,我们可以知道AB的长为4, 如果以AB为底,那么底是确定的,即为定长,现在要求△ABC的面积的最大值,我们只需要让AB边上的高最大即可,所以可以过点C作CD⊥AB于D(如下图),则当CD最大时,△ABC的面积最大,所以我们将这类问题转化为求高CD的最大值问题 。
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在前面的学习中,我们已经知道,当直角三角形的斜边为定值时,斜边上的中线为定值,且等于斜边的一半,所以我们可以作出AB边上的中线CE(E为AB的中点),如下图:
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通过以上步骤,我们可以知道△CED为直角三角形,CE是斜边,根据斜边大于直角边,我们可以知道CD<CE=2, 而点C为动点,当点C在AB的垂直平分线上时,即△ABC为等腰直角三角形时,CD与CE重合,此时CE=CD,
故我们可以得到CD≤CE=2.这样我们就找到了高CD的最大值,从而可以计算出△ABC的最大面积为4×2×0.5=4.
(2) 接下来,我们继续研究第二问,需要求解AC+BC的最大值为多少?
在前面的学习中,我们已经学习了要求两条线段的和时,我们可以通过截长补短法来解决,这种方法可以将两条线段和的问题转化为一条线段的长度问题 。下面我按照这个思路给大家分析一下 。
首先,我们延长AB到B&39;,使得CB&39;=CB,连接BB&39;,如下图所示 。
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通过恰当的作辅助线,我们可以知道AB&39;=AC+BC,即将求AC+BC和的问题转化为求AB&39;的长问题 。根据上图我们可以知道∠AB&39;B=45°,而AB=4,所以我们可以快速定位到定边定角模型,点B&39;的轨迹是以AB为弦,圆心角∠AOB=90°的优弧 。所以我们就可以快速画出点B&39;的轨迹 。如下图所示:
在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc

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由上图可知,△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,OA=OB=2倍根号2,即⊙O的半径为2倍根号2,而AB&39;为⊙O的一条弦,我们知道,在圆中直径是最长的弦,所以当点C与O重合时,AB&39;最长,即AC+BC的和最大 。此时三角形ABC恰好是以点C为顶点的等腰三角形 。动态演示如下:
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模型综述

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定边定角模型中,以动点为顶点的三角形是等腰三角形时,三角形的面积最大,周长最大 。这一个结论很重要,需要每个同学理解并牢记 。
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经典考题1.在平面直角坐标系中,点A、B、C坐标分别为(0,1)、(0,5)、(3,0),D是平面内一点,且∠ADB=45°,则线段CD的最大值是______.
【解析】:∵点A、B坐标分别为(0,1)、(0,5),∴AB=4,