在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc( 三 )


在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc

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易证△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
∵∠ABE+∠AGB=90°,∴∠ADF+∠PGD=90°,
∴∠DPG=90°,∴BE⊥DF;
(2)如图1,取EF中点,连接PH,AH,
∵∠EAF=∠FPE=90°,
∴PH=AH=1/2EF=√2/2,
∴点P,H,A三点共线时,PA最长为√2.
(3)连接BD,取BD中点O,连接OP,OA,如图2,
在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc

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∵∠BAD=∠BPD=90°,
∴OP=OA=1/2BD=√2,∴P在以O圆心,√2为半径的圆上,
当PA取最大时,PA=OP=OA=√2,
点P运动的路径是以O为圆心,以√2为半径圆心角是60°的弧的位置,再返回到点A,从另一方向继续以点O为圆心以√2为半径旋转60°的弧的位置,再返回,即:4段以点O为圆心,√2为半径圆心角是60°的弧的弧长,
∴点P运动的路径长为4×π√2/3=4π√2/3.
6.问题提出:
(1)如图1,已知△ABC,试确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;
问题探究:
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使∠BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离;
问题解决:
(3)如图3,有一座塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50米,∠CBE=120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)
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【解析】:(1)如图记为点D所在的位置.
在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc

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(2)如图,
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∵AB=4,BC=10,∴取BC的中点O,则OB>AB.
∴以点O为圆心,OB长为半径作⊙O,⊙O一定于AD相交于P?,P?两点,
连接BP?,P?C,P?O,∵∠BPC=90°,点P不能在矩形外;
∴△BPC的顶点P?或P?位置时,△BPC的面积最大,
作P?E⊥BC,垂足为E,则OE=3,
∴AP?=BE=OB﹣OE=5﹣3=2,由对称性得AP?=8.
(3)可以,如图所示,连接BD,
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∵A为?BCDE的对称中心,BA=50,∠CBE=120°,
∴BD=100,∠BED=60°
作△BDE的外接圆⊙O,则点E在优弧BD上,取弧BED的中点E′,连接E′B,E′D,
则E′B=E′D,且∠BE′D=60°,∴△BE′D为正三角形.
连接E′O并延长,经过点A至C′,使E′A=AC′,连接BC′,DC′,
∵E′A⊥BD,
∴四边形E′BC′D为菱形,且∠C′BE′=120°,
作EF⊥BD,垂足为F,连接EO,则EF≤EO+OA=E′O+OA=E′A,
∴S△BDE=1/2?BD?EF≤1/2?BD?E′A=S△E′BD,
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002?sin60°=5000√3(m2)
所以符合要求的?BCDE的最大面积为5000√3m2.
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解题思路总结1-模型识别:两定(A、B)一动(C),AB长固定,∠ACB固定,
求△ABC周长及面积最大值;
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2-计算模型建立:做△ABC外接圆,
3-模型结论:当△ABC为以C为顶点等腰三角形时,其周长和面积最大 。
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【在rt三角形abc中,角acb=90° 在rt三角形abc中 在rt三角形abc中 ac bc】