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欧拉圆8．微分方程《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现 。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科 。在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常係数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词 。1753年，他又发表了常係数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低 。欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究 。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的 。9．变分法1734年，他推广了最速降线问题 。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法 。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版 。这是变分学史上的里程碑，它标誌着变分法作为一个新的数学分析的诞生 。10．几何学

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欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，开创了图论坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里套用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程 。微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究 。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论 。这本着作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑 。欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平 。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了着名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网路论中的欧拉定理 。11．力学欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统销定性理论的开创人 。在1736年出版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中，他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解 。欧拉在书中把力学解释为“运动的科学”，不包括“平衡的科学”即静力学 。在力学原理方面，欧拉赞成P.-L.M.de马保梯的最小作用量原理 。在研究刚体运动学和刚体动力学中，他得出最基本的结果，其中有：刚体定点有限转动等价于绕过定点某一轴的转动，刚体定点运动可用三个角度（称为欧拉角）的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关係；定点刚体在不受外力矩时的运动规律（称为定点运动的欧拉情况，这一成果1834年由L.潘索作出几何解释）,以及自由刚体的运动微分方程等 。这些成果均载于他的专着《刚体运动理论》（1765）一书中 。欧拉认为，质点动力学微分方程可以套用于液体（1750） 。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定流体质点（1759）描述流体速度场 。这两种方法通常称为欧拉表示法和拉格朗日表示法 。欧拉奠定了理想流体（假设流体不可压缩，且其粘性可忽略）的运动理论基础，给出反映质晕守恆的连续性方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755） 。欧拉研究过弦、桿等弹性系统的振动 。他和丹尼尔第一·伯努利一起分析过上端悬挂着的重链的振动以及相应的离散模型（挂有一串质量的线）的振动 。他在丹尼尔第一· 伯努利的帮助下，得到弹性受压细桿在失稳后的挠曲线——弹性曲线（elastica）的精确解 。能使细桿产生这种挠曲的最小压力后被称为细桿的欧拉临界载荷 。欧拉在套用力学如弹道学、船舶理论、月球运动理论等方面也有研究 。其他贡献欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长桿上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量 。

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