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欧拉恆等式，欧拉常数，欧拉示性数等 “牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的数学家 。后来随着科学的发展，全才越来越少，有人说庞加莱也许是最后一个 。”但是数学并不会因此枯萎，李文林说：“18世纪末曾有一种悲观主义在数学家中蔓延，连拉格朗日这样的大数学家都认为数学到头了，但事实相反，19世纪初非欧几何的发现、群论的创立以及微积分严格化的突破，使数学获得了意想不到的蓬勃发展 。现代数学，特别是跟计算机结合起来之后，肯定还会有新的形态 。”主要成就各领域贡献在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪 。欧拉是18世纪数学界的中心人物 。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一 。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学 。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础 。他还把微积分法在形式上进一步发展到複数範围，并对偏微分方程，椭圆函式论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩 。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域 。他被同时代的人誉为“分析的化身” 。

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分析学1．数论欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础 。欧拉的着作有很大一部分同数的可除性理论有关 。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律 。2．代数欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结 。3．无穷级数欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论着，他第一个引进差分运算元 。欧拉在大量地套用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅立叶三角级数类 。1777年，为了把一个给定函式展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅立叶係数公式 。欧拉还把函式展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函式一般理论中占有重要的地位 。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义 。他还提出了两种求和法 。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响 。4．函式概念18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作 。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中 。这三部书是分析学发展的里程碑四式的着作 。

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欧拉写的数学名着《无穷分析引论》5．初等函式《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函式论 。其中，第八章研究圆函式，第一次阐述了三角函式的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导 。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函式和对数函式，他给出着名的表达式——欧拉恆等式（表达式中用

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表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用

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表示虚数单位 ），但仅考虑了正自变数的对数函式 。1751年，欧拉发表了完备的複数理论 。6．单複变函数通过对初等函式的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）複数域关于代数运算和超越运算封闭的结论 。他们两人还在分析函式的一般理论方面取得了最初的进展 。7．微积分学 欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支 。

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