【复杂网络】关于复杂网络中的动力学系统重构的文献资料整理( 五 ) _动力学

如图展示了洛伦兹吸引子的重构：
洛伦兹吸引子产生的时间序列
利用2阶延迟的时间序列重构洛伦兹吸引子
关于这一重构方法很好地概括在下面的文章中:
from a Time . H. , J. P. , J. D. .et al.（1980）
关于如何选定延迟时间，可以参考：
of the time delay for theoftime ., H.G.A（1989）
关于如何选择最好的维度，可以参考：
. D. Sauer, J. A. Yorke, M.of（1991）
如何用重构的吸引子来进行时间序列的预测，可以参考：
time . D. , J. J.（1987）
这篇论文讨论了一种利用混沌自同步来进行参数估计的方法：
Modelfrom Timeby .（1996）
5. 收敛交叉映射( Cross , CCM)方法
所谓的CCM是指收敛交叉映射（ Cross ）方法，它来源于相空间重构理论。只不过，CCM的目标并非重构动力学或吸引子，而是希望找到变量之间的“CCM因果联系” 。
CCM方法指出，如果一个事件A是B的因，并不意味着A一定会在B之前发生。一个著名的例子就是A=鸡打鸣和B=太阳升起。显然，我们每天都会观测到A会在B发生前发生，那么，我们可以说A是B的因吗？显然不行。因为，我们都知道，太阳升起才是让公鸡打鸣的原因，只不过由于常年的学习进化，公鸡已经学会了预测太阳升起这一事件，于是公鸡可以在太阳升起前打鸣。CCM方法声称，如果用该方法分析公鸡打鸣和太阳升起这样的时间序列，它可以准确地判别出正确的因果关系。
它的指导思想来源于相空间重构的Taken定理。我们知道，一个两变量的动力系统可以写成 d x d t = f ( x , y ) \frac{dx}{dt}=f(x,y) dtdx?=f(x,y),d y d t = g ( x , y ) \frac{dy}{dt}=g(x,y) dtdy?=g(x,y) 。它们共同构成了一个动力学吸引子记做M 。Taken定理说，一个吸引子在任何一个子空间中的投影都有可能重构出吸引子本身。于是，我们可以选择两个特殊的投影，一个是在x变量的子空间上投影，另一个是在y变量的子空间上。既然，这两个空间都是吸引子M的投影，那么x和y这两个子空间中的时间序列就必然会存在着一定的联系。
下面我们考虑时间延迟的时间序列重构。假设x的时间延迟序列可以重构出一个相空间 M X M_X MX?，y的时间延迟序列可以重构出相空间 M y M_y My?，那么对于任意一个时刻，这两个相空间流形 M x , M y M_x,M_y Mx?,My?上的对应点附近的邻域必然存在着很强的相关性，因为它们都来自M上的同一个邻域。如下图：
正是基于这一性质，CCM就可以通过 M x M_x Mx?和 M y M_y My?邻域的相关性来计算此二者是否有因果联系。具体的方法可以参考这篇文章：
in,May, Hao Ye.et al.（2012）
后续也有不少工作进行了改进，例如，下面这篇文章就给出了考虑到延迟效应之后的因果连边探测：
of timeandbased on timefrom. Ma, S. Leng, C. Tao.et al.E（2017）
也有学者指出CCM原始方法中的弊端，以及一些失败的case，并提出了改进方法：
Cross- and. M. , R. S.E（2014）
6. 线性化方程求解
这一思路的核心在于将一个非线性的动力学方程组转化为一个线性系统，从而来进行重构。
具体地，假设系统的非线性动力系统为： d x d t = f ( x ( t ) ) + r ( t ) \frac{dx}{dt}=f(x(t))+r(t) dtdx?=f(x(t))+r(t)，其中 x x x是多维变量，即多个节点，A A A是节点之间的相互作用矩阵，f f f是非线性函数，r ( t ) r(t) r(t)为一个高斯白噪声过程。那么，我们可以先把这个动力学函数 f f f做简化，即利用泰勒展开，或者在任何一组函数基上做展开，把动力系统变为一个线性动力系统，即 d x d t = A x + r ( t ) \frac{dx}{dt}=Ax+r(t) dtdx?=Ax+r(t)这样的形式，其中 A A A是各个线性项的级数展开的系数，也就是 x x x中各个变量相互作用的网络。