绝对值的几何意义洋葱数学绝对值的几何意义绝对值的意义 _的

一、绝对值的几何意义：
数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．如数a的绝对值记作|a|，表示数a的点与原点的距离．
例如|3|指在数轴上3与原点的距离，这个距离是3，所以3的绝对值是3 。同样， |-3|指在数轴上表示-3与原点的距离，这个距离是3，所以-3的绝对值也是3 。
动图解析：

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绝对值的概念来自于数轴上两点之间的距离，最后抽象为一个非负数，这就决定了绝对值具有几何意义和代数意义，绝对值的本质就是两点间的距离
二、两点间的距离
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。
但是我们其实可以把|a|看作|a－0|，这样就能表示为数a的点与数0的点的距离．那么|a－5|表示什么呢？千万别说成数a－5的点与数0的点的距离．而应该看成数a的点与数5的点的距离．不能理解的同学，我们就举最简单的例子，数10的点与数5的点的距离是多少，你肯定是知道是10－5，那这里只不过把10换成了a而已，如果a比5小，加个绝对值符号，保证距离的非负性即可，这下你明白了吧．那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示数a的点与数－5的点的距离．最后，你能说出|a－b|和|a＋b|的几何意义吗？
|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
用几何画板动图解析如下：
①a＞0，b＞0和a＞0，b=0时，AB=a-b

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②a＞0，b＜0时，AB=a-b

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③a＞0，b＜0时，AB=a-b

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综上：a＞b时，AB=|a-b|=大数-小数

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三、绝对值的典型例题
类型1.绝对值化简求最值
例1．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：

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（1）若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝ _______；
（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为_________ ；
（3）若|x﹣3|+|x+1|＝7，求x的值．
【解答】（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3﹣x＝x+1，∴x＝1；
（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
∴|x﹣3|＝3﹣x，|x+1|＝x+1，
∴|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4；
（3）∵|x﹣3|+|x+1|＝7，
若x＞3，则原式可化为（x﹣3）+（x+1）＝7，x＝9/2；
若﹣1≤x≤3，则﹣（x﹣3）+（x+1）＝7，x不存在；
若x＜﹣1，则﹣（x﹣3）﹣（x+1）＝7，x＝﹣5/2；
∴x＝9/2或x＝﹣5/2．
故答案为：1，4，x＝9/2或x＝﹣5/2．

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类型2 绝对值知识的实际应用
例2．为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？
【解答】（1）根据题意得：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．
由此时巡边车出发地的西边3km处．
（2）依题意得：
0.25×（|+2|+|﹣3|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣1|+|﹣2|+|﹣3|）＝0.25×16＝4，
答：这次巡逻共耗油4升．

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类型3 绝对值中数学思想方法
在绝对值的知识点中，蕴含了许多重要的数学思想．
(1)分类讨论思想：绝对值化简时，要根据被化简式子的正负性来分类．
在实际解题时，我们通常要去绝对值符号：根据绝对值符号内的代数式的正负，分情况讨论（一般是分大于0，小于0，等于0几种情况），判断每一个绝对值符号的正负后再把绝对值符号去掉，去绝对值符号要根据绝对值的代数意义来取正负号。

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