显然，在去绝对值符号时，我们需要具备分类讨论的数学思想 。正是由于这点，使绝对值的题型成为刚上初中的同学的一个难点 。
例3．已知数轴上点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且AB＝9．
（1）若b＝﹣6，直接写出a的值；
（2）若C为AB的中点，对应的数为c，且OA＝2OB，求c的值．
【解答】（1）∵AB＝9，b＝﹣6，而点A和点B分别位于原点O两侧，∴a﹣（﹣6）＝9，∴a＝3，故a的值为3．
（2）∵OA＝2OB，而AB＝9，∴OA＝6，OB＝3，AC＝4.5，
①若A点在原点左侧，则C点表示的数为﹣6+4.5＝﹣1.5，
②若A点在原点右侧，则C点表示的数为6﹣4.5＝1.5，
故c的值为﹣1.5或1.5．
文章插图
(2)整体思想：绝对值化简时，有时需要将被化简式子看作整体．
例4．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2）|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值
【解答】∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，
又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，
∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，
当|x+1|+|x﹣2|＝3时，x最小取﹣1，最大取2，
当|y﹣2|+|y+1|＝3时，y最小取﹣1，最大取2，
当|z﹣3|+|z+1|＝4时，z最小取﹣1，最大取3
所以2016x+2017y+2018z的最大值为：2016×2+2017×2+2018×3
＝14120，
2016x+2017y+2018z的最小值为：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）
＝﹣6051
文章插图
(3)数形结合思想：绝对值的几何意义中，结合数轴来了解，更加简单易懂．
例5.回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝________．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是_____________ ．
⑤若x表示一个有理数，当x为__________ ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 _______．
文章插图
【解答】①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|＝x﹣1+x+3＝2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3+2﹣x＝﹣2x﹣1＝5，解得：x＝﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，
此时x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＝5，解得：x＝2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x＝0时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝﹣1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y＝|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y＝x+2+x﹣3+x﹣5＝3x﹣6，
∴当x＝5时，y最小为：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；
ii、当3≤x＜5时，y＝x+2+x﹣3+5﹣x＝x+4，
∴当x＝3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y＝x+2+3﹣x+5﹣x＝10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y＝﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x＝6﹣x，∴此时y最小接近8；
∴y的最小值为7．故答案为：3，7．
文章插图
狗尾续貂：绝对值知识的易错点：
1.概念模糊，定义理解不透彻，
如：绝对值是它本身的数是非负数，很多同学潜意识里会认为是正数，这是典型的概念理解不透彻 。
2.去绝对值化简，一定要把绝对值内的式子可做一个整体；去括号时，括号前面是"—"号，要变号;
3.在解关于绝对值的未知数时，容易丢解或漏解，最简单的例子|a|=3,a=±3，一定是两个解！
【绝对值的几何意义洋葱数学 绝对值的几何意义 绝对值的意义】
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