数学物理方程期末题型汇总 _边界

文章目录章二：二阶章三：波动方程/双曲方程（二）半无界问题（初始条件+1边界条件）---------开拓法（三）混合问题（初始条件+2边界条件）-----分离变量法章四：热方程/抛物方程（二）混合问题章五：椭圆方程
本文章为自己期末考试复习整理的内容，其中的一些数字代号仅方便自己对方程类型分类，仅可借鉴。章一：基本问题简答
①三类边界条件
②定解问题分类
③解的适定性
定解问题=范定方程+定解条件
定解条件：初始条件、边界条件
定解问题的分类：
/初值问题：只有初始条件，没有边界条件。常常处理无界的问题边值问题：没有初始条件，只有边界条件。常常处理狄氏问题，如稳定的温度场。混合问题：有初始条件和边界条件。
解的适定性（1/3）
（1）存在性：定解问题至少存在一个解
（2）唯一性：定解问题至多有一个解
（3）稳定性：
证明：是否满足解的适定性（1/3）
章二：二阶计算
二阶方程的特征、分类（双变量四个例题（一个求特征，三个化标准型）
①判断方程类型（判别式：?=b2-ac）
②求特征方程特征线
二阶偏微分方程对应的特征方程：
特征线：dy/dx积分
③化标准型
作变换：
?=b2-ac>0，两组特征线，作变换§=?=，化为标准型：u§?=Du§+Eu?+Gu+F(§, ?)
?=b2-ac=0，一组特征线，作变换§=?=y
?=b2-ac 多变量xyz（ppt例五）
章三：波动方程/双曲方程
（一）初值问题 1.一维齐次
达朗贝尔公式：
特点：齐次，原、偏导初值都不为0
延伸问题：求决定区间、影响域
①特征线
一维波动方程的特征方程是：dx/dt=±a
则特征线为 x±at=C
过点(x0,t0)的两条特征线为 x+at=x0+at0 x-at=x0-at0
②依赖区间
u只依赖于初始函数φ与ψ在区间 x0-at0到x0+at0 上的取值
称[x0-at0,x0+at0]为点(x0,t0)的依赖区间
③决定区域
过点[x1,0] 做两条特征线 x+at=x1 x-at=x1
过点[x2,0] 做两条特征线 x+at=x2 x-at=x2
会有两条特征线交到一起，这个三角形区域称为[x1, x2]的决定区域
即定义在[x1, x2]上的初始函数φ与ψ，决定该三角形区域内的u
④影响区域
会有两条特征线未交到一起，这个区域称为[x1, x2]的影响区域
即定义在[x1, x2]上的初始函数φ与ψ，影响该区域内的u
从达朗贝尔公式还可以看出，解在点的数值仅依赖于轴上区间内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。区间称为点的依赖区间。它是由过点的两条斜率分别为的直线在轴所截得的区间（（a））。对初始轴上的一个区间，过点作斜率为的直线，过点作斜率为的直线，它们和区间一起构成一个三角形区域（（b）），此三角形区域中任一点的依赖区间都落在区间的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个三角形区域称为区间的决定区域，在上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。若过点分别作直线，则经过时间后受到区间上初始扰动影响的区域为，在此区域之外的波动不受上初值扰动的影响，称平面上由上述不等式确定的区域为的影响区域（如图（c））。
例求下列柯西问题：
2.一维非齐次
齐次化原理/冲量原理/外力化初速度原理--------- 用于求解非齐次式
特点：非齐次，原、偏导初值都=0
无界弦强迫振动的定解问题------利用杜哈梅原理（齐次化原理）求解
特点：非齐次，初值都不为0