尺规作图问题 _生活百科

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尺规作图问题【尺规作图问题】尺规作图（Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction）问题是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只準许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。不可能用尺规作图完成的作图问题，称为尺规作图不能问题，如三等分角问题、化圆为方问题等。
基本介绍中文名：尺规作图问题
外文名：problem of construction withruler and compass
相关知识：三角等分、化圆为方、倍立方问题
起源：古希腊数学课题
简介尺规作图问题是起源于古希腊的数学课题，只使用圆规和直尺，并且只準许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟现实中的并非完全相同，具体而言，有以下的限制：（1）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；（2）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展，许多数学结果就是为解决古希腊三大难题而得出的副产品，对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，并发现了一批着名的曲线。若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理论以证明。儘管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角（Angle trisection）最受注意。原理以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径可作一个圆；（3）若两已知直线相交，可求其交点；（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点；（5）若两已知圆相交，可求其交点。

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图1.作图公法问题古希腊三大难题古希腊三大难题是早期希腊数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希腊发源的，因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是：（1）化圆为方问题：即求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等；（2）三等分角问题：即求一角使其角度是一已知角度的三分之一（可用只有一点刻度的直尺与圆规作出）；（3）倍立方问题：即求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍（可以用木工的角尺作出）。在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决。正多边形作法（1）只使用直尺和圆规，作正五边形。（2）只使用直尺和圆规，作正六边形。（3）只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形已被证明是不能由尺规作出的。（4）只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。问题的解决：高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。1832年，Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法。1900年左右，Hermes花费十年的功夫用尺规作图作出正65537边形，他的手稿装满一大皮箱，可以说是最複杂的尺规作图。四等分圆周这道题只準许使用圆规，要求参与者将一个已知圆心的圆周4等分。这道题传言是拿破仑·波拿巴拟出，向全法国数学家挑战的。这道题已被证明有解。