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达朗贝尔微积分的逻辑缺陷和人们的猛烈攻击 ， 激厉数学家们为消除微积分的神秘性 ， 亦即为微积分建立合理的理论基础而努力 。18世纪 ， 在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日 。可是"无穷小量"的本质尚未弄明白 ， 无穷级数的"和"的问题又日渐突出了 。在微积分里 ， 一个典型的基本算法就是把无穷多项相加 ， 叫做求无穷级数之和 。在初等数学中 ， 有限多项相加总有确定的和 。而无穷多项相加 ， 是加不完的 ， 什幺是无穷级数的"和"是不清楚的 。在很长一段时间里 ， 人们习惯地把有限多项相加的运算规则照搬到无穷级数中 ， 虽然也解决过许多问题 ， 但有时竟出现了像1/2=0这样的荒谬结果 。进入19世纪以后 ， 随着微积分套用的更加广泛和深入 ， 遇到的数量关係也更加複杂 ， 很多问题 ， 例如 ， 对于热传导现象的研究 ， 就已超出了早年力学那样的直观性 。在这种情况下 ， 要求有明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则 ， 就显得更加重要和迫切了 。事实上 ， 微积分作为变数数学 ， 是运用"无穷"来描画和研究运动和变化过程 ， 获得了成功的 ， 却长期没有对有关"无穷"的概念给出正确的阐述 ， 甚至导致逻辑上的混乱 ， 微积分的神秘性正是由此而来 ， 而这也正是微积分的理论基础所要解决的问题 。
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柯西数学家们经过一百多年的艰苦探索历程 ， 终于在前人所积累的大量成果（包括许多失败的尝试）的基础上 ， 建立起微积分的理论基础 。柯西(1789―1857）于1821年出版的《分析教程》中 ， 开始有了极限概念的基本明确的叙述 ， 并以极限概念为基础 ， 对"无穷小量"、无穷级数的"和"等概念给出了比较明确的定义 。例如 ， 从极限的观点看 ， "无穷小量"就是极限为零的变数 ， 在变化过程中 ， 它可以是"非零" ， 但它的变化趋向是"零" ， 无限地接近于"零" 。极限论正是从变化趋向上说明了"无穷小量"与"零"的内在联繫 ， 从而澄清了逻辑上的混乱 ， 撕下了早期微积分的神秘面纱 。后来 ， 经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作 ， 又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上 ， 并且形成了描述极限过程的ε-δ语言 。微积分理论基础的严密化 ， 使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域 。微积分的发展历史告诉我们 ， 一门学科不能只停留在感性阶段 ， 如果不上升到理性 ， 不具备坚实的理论基础 ， 不但其套用受到限制 ， 学科本身也难以继续发展 。然而在上一世纪我国的多次运动中 ， 在"数学是唯心主义的世袭领地"这种错误思想影响下 ， 极限论和ε-δ语言屡遭批判 ， 屡次被撵出课堂 。"文革"之后 ， 一位教师感慨地说："当我做学生的时候 ， 也曾起劲地参加批判 ， 但毕业以后 ， 做了几年教学工作 ， 我体会到过去批判的东西其实是正确的、有重要意义的 。可是当我向学生讲述这些道理的时候 ， 我自己却又成为学生们的批判对象了 。"