上海交大教授何援军：论工业软件发展的若干问题( 五 ) _软件

设计和编制高效、稳定的几何算法，构筑起坚实的几何计算平台，在此基础上，才能构建“几何引擎”“渲染引擎”等的核心算法。
这才是建立国产化工业软件的基础，也是目前工业软件发展的首要任务。
8 理论基础
核心问题既已找到：工业软件的主要工作是“几何计算” 。下面的任务就是从数学科学、物理科学、计算机科学中找到他的理论基础。
1981年1月苏步青先生出版了著名的《计算几何》专著：
1）开创了我国的《计算几何》学科。
2）是对国际上“CAGD”研究的“国产化” 。
那时，国际上对Bézier曲线、Bézier曲面，曲线、B样条曲面和NURBS（Non-B-，非均匀有理B样条）等的研究非常活跃。上个世纪对曲线曲面的研究，现在仍是CAD造型的理论基础之一。
3）阐述了“计算”时代下的“几何” 。
4）给出了一个理论数学到应用数学的样板。
理论研究是实的，不是虚的。
2013年3月，高等教育出版社出版了一本《几何计算》（文献【1】），分析了“几何”在“计算”中的作用，详细阐述了一种名为“形计算”（文献【2】）的基于向量几何理论的，几何问题几何化的几何计算理论和计算机制。
形计算建立了统一、稳定的几何化求解机制，它的主要理论和策略可简述如下。
引入几何数（）。在几何定义与几何关系的表述中引入几何数，辅助表征几何与几何关系。它采用向量几何理论，建立几何的方向概念，简化计算和求解过程、简化解的选择，辅助整个计算过程。
引入几何基（Basis）。几何基作为形计算的基本计算单元，几何基序列既是几何构造过程，也表征几何问题的解。
变换几何化。从几何的角度，平面上任意两条相交不共线（空间任意3个相交不共面的平面）的单位法向量能构成一个新坐标系，新、旧坐标系间的坐标变换矩阵元素可由两相交向量（空间由3相交平面）在原坐标系下的法向系数及齐次项表出。这就是变换的几何化变化描述，它比通过平移、旋转等得到变换矩阵的代数化表述更直观，更统一。由向量或平面的单位法向量构造变换的矩阵元素，使几何变换与基本几何的定义与求解函数统一，统一描述平移、旋转、错切、对称和比例等变换。
平面问题求解策略。将几何问题逐级分解至最基本的几何关系，建立形的构造（求解）树，再用树的遍历得到以几何基序列表述的几何解。
空间问题求解策略。对相关几何建立以主几何元为参考的计算坐标系，通过向任意面投影的方法，将空间问题降维为平面问题，求取在平面上的几何解，再反求回到三维空间，求得空间问题的解。
误差零域设置：鉴于计算机的浮点数制，除了采用双精度浮点型外，根据工程类型设置误差零域，在零域范围内可认为两点、两线、两面是重合的。
经过裁剪算法、二维布尔算法、两曲线求交算法、直线与球面求交算法、空间两三角形求交算法、…等大量算法的定量测试计算，证明形计算理论在提高算法的稳定性、计算效率和简化算法等方面是很有效的。
形计算构建了一套解决几何奇异引起的计算不稳定问题完整理论和方法，特别是在几何层面上考虑几何奇异问题，通过对交点几何数的简单运算，解决之。
形计算解决了以下几个科学问题和实践问题：总体上，追求形、数结合的新突破。机制上，解决了形计算“数元”的表示机制、运算机制、计算方式和解的表述，以及降维机制、以及变换几何化机制等。目标上，解决了计算过程中的维度差距、计算稳定性等关键问题，特别是提出了一套解决几何奇异问题的完整理论和解决方案。