薄壳理论( 三 )

v的项。由此得到在仅有法向表面载荷q3作用的唐奈方程：式中ξ=x/a，θ=s/a,a为圆筒的半径，x、s分别表示轴向和周向的长度变数；

文章插图
为拉普拉斯算符。对于较短的圆柱壳，唐奈方程具有一定的精度。1959年美国的F.W.莫利对唐奈方程作了改进，他将第三个法向位移方程改成下式：从而提高了唐奈方程的精度并扩大了它的套用範围，形式也得到了简化。对轴对称载荷作用下的圆筒壳，唐奈方程简化为弹性基础上板条梁的弯曲方程。

文章插图

文章插图
1932年，苏联的В.З.符拉索夫针对周向加劲的长圆柱壳体（见加劲板壳）提出了一种简化的半无矩理论（又称半弯矩理论）。它是在忽略柱体母线方向所有弯矩和周向变形的基础上建立的理论，它还被推广套用于任意截面形状的长柱壳体。旋转壳德国的H.瑞斯纳和瑞士的E.迈斯纳分别于1912年和1913年以旋转壳体经线上的横向剪力和纬线方向的主曲率半径的积作为变数，并用经线上切线的转动角为另一变数，将壳体基本方程简化成两个互相耦合的二阶常微分方程的方程组。在无表面载荷的情况下，它是齐次方程组，可化为一个複数函式表达的二阶常微分方程。由于壳体弯曲具有边界效应，作为初级近似，德国的J.W.盖克勒于1926年曾利用这一特点把方程进一步简化。因原微分方程具有渐近性质，所以可用渐近积分方法求得精度较高的解。扁壳对于工程上常用的拱高较小（一般拱高与底面特徵长度相比不超过1/5）的扁壳，德国的K.马格雷和苏联的穆什塔利于1938年根据其几何特点分别建立了这类壳体的基本方程。1944年符拉索夫将这一成果发展成为系统的扁壳近似理论。这一理论利用壳体中面扁平的特点把高斯曲率近似地取为零。另外，除了在中面应变分量的几何关係式和法向平衡方程中保留曲率效应外，其他都近似地採用平板方程的表达式。由于这些简化和圆柱壳体中的唐奈方程的近似假定相同，扁壳理论套用于零高斯曲率的圆柱壳体同唐奈方程完全一致，因此扁壳方程也可以说是唐奈方程的推广。