薄壳理论( 二 ) _生活百科

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式中u、v、w为沿α、β方向和法方向的位移分量；A1、A2为 α、β方向的拉梅係数；R1、R2为α、β方向的曲率半径。由于曲率的存在，壳体变形中的切向位移分量u、v与法向位移分量ω间便有耦合关係，从而造成壳体几何方程的複杂化。②静力平衡方程　它的一般形式可写为：

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式中q1、q2和 q3分别为单位中面面积上在α、β方向和法方向的表面载荷分量。这些方程表明，中面切向的平衡方程中包含横向剪力N1和N2，而在法向的平衡方程中又含有中面内力T1和T2 。即使在小变形情况下，中面内力与横向剪力也是相互耦合的。此外，最后一式按内力定义应为恆等式。

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相关图书③应力-应变关係反映壳体内中面内力和应变之间的关係，即

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式中C =Et/（1-v2），v为泊松比，E为弹性模量；D=Et3/12（1-v2），称为弯曲刚度。求解壳体内的位移和内力须将上述各方程联立。上述联立基本方程组可化为仅用壳体的挠度表达的八阶偏微分方程。从理论上讲，只要有足够的边界条件，即可以从这些方程中解得全部未知量。一般说来，在每个边界上只能有四个边界条件，但自然边界条件有五个。在这种情况下，应将扭矩化为等效的剪力，譬如在边界上，两个剪内力化为：

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理论套用壳体方程组十分複杂，所以对任意载荷下的任意形状壳体求得一般解是很困难的，而只能求经过简化的某些特殊壳体的解，它们在工程套用上具有重要的价值。这些壳体有：薄膜壳如果壳体的几何形状（包括厚度）和表面载荷都是连续可微函式，则除壳体边缘局部区域可能由于受支承而出现弯曲应力外，大部分壳体一般处于无弯矩的应力状态。这种状态与薄膜受力状态相当，可根据壳体的无矩理论求解。按照这个理论，弯矩分量Μ1=Μ2=Μ12=0 。根据平衡条件得到N1=N2=0;T12=T21，记为S 。这样，在一般情况下，壳体的六个平衡方程将简化成只包含三个未知内力的三个方程：

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无矩理论的上述基本方程是静定可解的，并且可归结为某个位移函式（见应力函式和位移函式）的四阶偏微分方程。工程上常见的二次旋转曲面壳体，在轴对称载荷（如均布压力、水压、风型载荷和重力等）作用下，可用无矩理论求得解析解。该解不仅近似地反映了壳体大部区域的应力和变形，而且在一般情况下，它与考虑弯矩后得到的特解之差为t/R的数量级，故可近似地作为特解。此外，无矩状态还是结构最佳的受力状态，所以无矩理论具有重要的实用价值。圆筒壳圆筒壳製作方便，套用极为广泛。此外，圆筒壳沿母线方向的曲率为零，而其周向曲率又为常数，所以易于进行理论分析。最初，圆筒壳方程的表达式相当複杂，1933年美国的L.H.唐奈作了简化：①在壳体中面的周向平衡方程中，忽略周向曲率对横向剪力N2的影响；②在变形分量κ1、κ2和κ12的几何方程中，略去含切向位移分量u和