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拉普拉斯展开【拉普拉斯展开】在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式 。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和 。
基本介绍中文名：拉普拉斯展开
外文名：Laplace expansion
所属领域：数学
又名：拉普拉斯公式
相关术语：拉普拉斯定理
套用学科：数学
定义在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式 。将一个
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矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n个元素的
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余子式的和 。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开 。由于矩阵B有 n行 n列，它的拉普拉斯展开一共有 2n种 。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式 。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式 。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中 。公式设B= (bij)是一个n×n矩阵 。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1阶子矩阵的行列式 。有时可以简称为B的
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余子式 。B的
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代数余子式：Cij是指B的
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余子式Mij与(?1)的乘积：Cij= (?1)Mij拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：
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考虑以下的矩阵：
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这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
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也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：
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很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零 。证明设B是一个
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的矩阵，
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。为了明确起见，将
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的係数记为
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，其中
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。考虑B的行列式|B|中的每个含有
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的项，它的形式为：
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