拉普拉斯展开( 二 ) _生活百科

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其中的置换τ ∈Sn使得τ(i) =j，而σ ∈Sn-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ 。因此我们创建了Sn?1与{τ∈Sn:τ(i)=j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：定义σ' ∈Sn使得对于1 ≤k≤n?1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) =n，于是sgnσ' = sgn σ 。然后

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由于两个轮换分别可以被写成

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和

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个对换，因此

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因此映射σ ? τ是双射。由此：

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从而拉普拉斯展开成立。相关定理拉普拉斯定理拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那幺得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。