在区间
文章插图
上可积，任取区间
文章插图
的分割
文章插图
在区间
文章插图
文章插图
上任取一点
文章插图
，则有
文章插图
其次，对于分割
文章插图
，有
文章插图
在区间
文章插图
文章插图
上对函式
文章插图
套用拉格朗日中值定理得
文章插图
其中
文章插图
因此有
文章插图
文章插图
证毕 。定理推广二重积分形式设函式
文章插图
在矩形区域
文章插图
上连续，如果存在一个二元函式
文章插图
，使得
文章插图
，则二重积分
文章插图
曲线积分形式设D为单连通区域，
文章插图
与
文章插图
在区域D上有连续的一阶偏导数，
文章插图
与格林公式和高斯公式的联繫若存在一个二元函式
文章插图
，使得
文章插图
在区域D中任意取两个点
文章插图
，则对连线
文章插图
的任意一条光滑曲线L，都有
文章插图
发展简史
文章插图
1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的着作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述 。1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理 。德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z 。定理意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法 。它简化了定积分的计算，只要知道被积函式的原函式，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值 。牛顿-莱布尼茨公式是联繫微分学与积分学的桥樑，它是微积分中最基本的公式之一 。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标誌着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科 。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式 。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维 。公式套用牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的套用，例如计算坝体的填筑方量 。牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的套用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力 。牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅立叶变换，机率论，複变函数等数学分支中都有体现 。