牛顿问题 _生活百科

文章插图
牛顿问题【牛顿问题】牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国着名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫做牛顿（牛吃草）问题，亦叫做消长问题。
基本介绍中文名：牛顿问题
外文名：Newton Problem
别称：牛吃草问题
表达式：牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量
提出者：牛顿
提出时间：17世纪上半纪
套用学科：数学
适用领域範围：奥林匹克数学、公务员考试数量关係
别称：消长问题
简介牛顿问题又称牛吃草问题或消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。基本公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决牛顿问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变数。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变数，才能够导出上面的四个基本公式。解题关键牛顿问题，称“牛吃草问题” ，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量)；4、最后求出牛可吃的天数。想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60 ，是60头牛（22-10）天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。设一头牛1天吃的草为一份。那幺10头牛22天吃草为1×10×22=220(份) ， 16头牛10天吃草为1×16×10=160(份)（220-160）÷（22-10）=5(份) ，说明牧场上一天长出新草5份。220-5×22=110（份) ，说明原有老草110份。综合式：110÷（25-5）=5.5(天) ，就能算出一共多少天。如果想求出有多少牛，那幺题目一定会告诉原来的草量，方法就和求草一样。可以先写出求草的算式，再带入数字。题目解法在牧草不生产的条件下，如果12头公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔（当时牛顿想出问题并解出答案的地方）的牧草，则按比例36头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得， 14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7 。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供8头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。牛顿还给出代数解法：他设格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为y由格尔的草地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积是相等的。根据题意，设若所求的公牛头数为x ，就为（10/3+10/3*4y）/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x ，解得x=36 ，即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。还有一种方法就是使用方程式的解法。例如有一块牧场，可供9头牛吃3天，或者5头牛吃6天，请问多少牛能够2天吃完？做方程式：设牧场原有草量为y ，每天新增加的牧草可供x头牛食用， N头牛能够2天将草吃完，根据题目条件，列出方程式：