牛顿问题( 二 ) _生活百科

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解方程组得

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其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-单位时间长草量可供应的牛的数量）×天数。另一解法：牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那幺此题无解。因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能10头牛食慾不佳一个月吃都不完这些草，因此每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件。得到这个结论后，就要开始确定一个平衡的方程式出来。不难想到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量。于是可以假设一头牛一天的吃草量为1个单位，并假设第三种情况牛吃草的天数为N；接下来开始寻找平衡方程，可以看到在问题提供的条件中，第一种情况的草的总量为10×22 ，第二种情况的草的总量为16×10 ，第三种情况的草的总量为25×N 。然后寻找方程的平衡：既然现在已经找到三种情况里草地的总量，那幺不难想到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，假设原有草量为Y ，草每天的生长量为X ，得到如下方程组：

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解此方程组，可得

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因此25头牛用五天半的时间就能吃完这些草。规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变数，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变数——每天（每周）新长出的草的数量。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；