matlab 求解线性方程组之LU分解 _矩阵

线性代数中的一个核心思想就是矩阵分解，既将一个复杂的矩阵分解为更简单的矩阵的乘积。常见的有如下分解：
LU分解：A=LU，A是m×n矩阵，L是m×m下三角矩阵，U是m×n阶梯形矩阵
QR分解:
秩分解:A=CD , A是m×n矩阵，C是m×4矩阵，D是4×n矩阵。
奇异值分解：A=UDVT
谱分解：
在求解线性方程组中，一个核心的问题就是矩阵的LU分解，我们将一个矩阵A分解为两个更加简单的矩阵的复合LU，其中L是下三角矩阵，U是阶梯形矩阵。下三角矩阵和上三角矩阵具有非常良好的性质：Lx=y 或者Ux=y 很容易求解。
问题1.对于任意的矩阵A，是否存在LU分解？
定理：如果A行等价于阶梯形矩阵U，那么(EnEn-1......E1)A=U，其中的Ei，i=1,2,.....,n是高斯消去矩阵，他们都是下三角矩阵，并且都可逆。
这个定理告诉我们三件事：
1.并不是所有的矩阵都有LU分解的。
2.A=LU=(EnEn-1......E1)-1U=(E1-1E2-1.....En-1)U 。
3.这个定理还给出了求解矩阵A-1的一种方法。
数值算法1.Gauss消去
用Gauss消去法将矩阵A行变换为U：

文章插图
用Gauss消去矩阵将A行变换为U:

文章插图
数值算法2.Gauss-
过程和Gauss-基本一致，之不多在选择完最大元之后，将其化为1，这样就可以通过乘以一个倍数来消去其他行了。
【matlab 求解线性方程组之LU分解】选择主元
当对某一列进行Gauss消去时，一般都是选择这一列中绝对值最大的一个元素作为主元，当然这会进行行交换。其好处有一下几点：
1.在Gauss会代的过程中，不会出现除数为0的情况。
2.减少误差传播，这主要是因为乘数小于等于1.
(为何乘数小于等于1，如果选择这一列中绝对值最大的一个元素作为主元,我们假设这个元素是a，那么乘数等于-b/a，此时|b/a|