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一张A4纸有多长？

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一张A4纸有多长？搜索的结果是：A4纸是由国际标准化组织的ISO 216定义的，规格为21*29.7cm（210mm×297mm）。

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那么，如果揉成纸团呢？是应该直接测量直径，还是展开成平面进行测量？还能恢复原先的平整状态么？褶皱部分如何计量？
同样的问题存在于：英国的海岸线究竟有多长？

英国的海岸线究竟有多长？

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上个世纪60年代，著名数学家芒德勃罗 Benoit B.Mandelbrot对困扰人们很多年的问题开始感兴趣：英国的海岸线究竟有多长？以此为题，1967年Mandelbrot在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》（How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）的著名论文，对这一问题深入探讨。

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海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。海岸线的长度，取决于你想要的精度。随着分辨率的提高，得到的长度会持续增长，随着放大倍数的增大，海岸线呈现出来的细节也就越多。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
Mandelbrot把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(Fractal) 。1975年，他创立了分形几何学(Fractal Geometry) 。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
理想化范式的欧几里得几何，与自然界的分形结构。
我们之所以测不准海岸线的长度，是因为海岸线就是一个天然的分形。
“平缓的形状在野外很少见到，但在象牙塔和工厂中极为重要” 。
在这个人工制品的新世界，我们不可避免的习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何（直线、平滑曲线和平滑表面）的滤镜观察世界，而我们所处的是一个混乱、复杂、不规则的令人费解的世界。
Mandelbrot认为别人视为不规则形状的东西恰恰是最普通的类型；别人视为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使Mandelbrot获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。
根植于欧几里得几何的柏拉图式的平滑理想状态在我们灵魂深处根深蒂固，但是，自然界中，几乎没有什么东西是平缓的，大多数事物都是有褶皱的、不规则的、细圆锯齿的，通常都以一种自相似的形式存在。
在其代表著《大自然的分形几何学》中，Mandelbrot如是说：
“为什么几何学常常被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。更为一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得(几何)──本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边，被认为是‘无形状可言的’形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然提出的问题。”

自然界的分形现象
在自然界令人畏惧的复杂性的背后，潜藏着惊人的简单性、规律性和一致性：褶皱，中断，粗糙和自相似性。
分形（Fractal）和物体的自相似性有很大联系。生活里面，我们发现许多自然生成的东西往往有极其复杂的细节，而且组成它们的微小部分就好像是整体的缩小版，它们在各个尺度上的复杂程度都很相似。蜿蜒的海岸线，发散的树枝，海螺的断面，这些都是自然生成的自相似图形。