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自然数的概念

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自然数(natural number)
根据现行小学课本简单说就是大于等于零的整数。说专业些是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……所表示的数。自然数由1开始，一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础， 19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合:①N中有一个元素，记作1 。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理)N的任一子集M ，如果1∈M ，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N 。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集{x} ， {y} ， {a} ， {b}等具有同一基数，记作1。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2 ，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数概念是什么

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1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为
N={0,1,2,3,…}
而将原自然数集称为非零自然数集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.
1 对自然数的来源的认识
由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数.
2 自然数的新概念
自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1 有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.
3 自然数的四则运算
自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即