2016年高考全国一卷 2016年高考全国2卷理数试题( 三 )

19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.
试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.
考点：线面垂直的判定、二面角.
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
考点：函数的单调性、极值与最值.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即
考点：三角形相似、全等，四点共圆
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，
所以的斜率为或.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；