07.AOE网和图的关键路径 _关键路径

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一、什么是AOE网
AOE( on edge ) :在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网
【07.AOE网和图的关键路径】AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点）；没有出边的点称为终点（或汇点）
二、AOE网的性质只有再某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的活动才能开始；只有再进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。三、AOE网可以解决下列问题完成整个工程至少需要多少时间为缩短完成工程所需要的时间，应当加快哪些活动四、关键活动 1.关键路径
从开始到结束最长的一条路径，可能不只一条，那么如何找到这样条路径呢？这就需要，找本节的重要概念关键活动（全部由关键活动组成的路径，就是关键路径）
2.关键活动
（1）如果缩短某一条活动的时间，不能改变总体结束时间，活动就不是关键活动。
（2）如果缩短某条活动的时间，能减少总体结束时间,活动就是关键活动。
（3）活动的最早发生时间，和最迟发生时间一样，活动，就是关键活动。
五、求关键活动
上文说到，活动的最早发生时间，和最迟发生时间一样，活动，就是关键活动。
这两个时间怎么求呢？下面将给出答案。
1.关键活动的4个前导量
（1）事件A的最早发生时间[B] ：[B] = max{[]+len}
（2）事件A的最迟发生时间[B]：[B] = min{[]-len}

文章插图
（3）活动AB 的最早发生时间：[BC] = [B]
（4）活动AB 的最迟发生时间: [CD] = [D] - len[CD]
注：len表示弧AB的长度
(1) 分析
event ： A B C D E F G H I
： 0 6 4 5 7 7 16 14 18
从起点开始算，起点时间一定是0之后的事件用前一个事件的时间推算如： [B] = max{[A]+len}[E] = max{[B]+len ，[C]+len}（2）分析,依赖
event ： A B C D E F G H I
： 0 6 4 5 7 7 16 14 18
： 0 6 6 8 7 10 16 14 18
从后往前计算，结束事件直接取用前一个事件的时间推算如：[B] = min{[C]-len}开始时间，必定是0 （3）分析
活动BC 的最早开始时间应该等于时间B的最早开始时间因此有：[BC] = [B]

 event： A BC DEFGHIevent_early ： 0 64 57716 14 18event_latest： 0 668 7 10 16 14 18activity: ABACADBECEDFEGEHFHGIHIactivity_early : 0006457771614

(4) 分析
要从前往后算
例如活动CD 的最晚开始时间要保证时间D的最迟时间不能拖后所有：[CD] = [D] - len[CD]

 event： A B C D EFGHIevent_early ： 0 64 57716 14 18event_latest： 0 668 7 10 16 14 18activity: ABACADBECEDFEGEHFHGIHIactivity_early : 0006457771614activity_latest: 023668711101614

2.关键活动：
最早开始时间和最晚开始时间是一样的称为关键活动。
activity: (AB)ACAD(BE)CEDF (EG) (EH)FH(GI)(HI)activity_early : 0006457771614activity_latest: 02366877101614
注意：
关键活动组成的路径叫关键路径虽然会产生多条关键路径，但是多条关键路径的执行时间是一样的。工程的总执行时间就是任意选其中一条关键路径的总执行时间。六、动画演示
七、代码实现
aoe.go

package aoeimport ("fmt""gitee.com/gudongkun/datestruct/dataStructures/graph""gitee.com/gudongkun/datestruct/dataStructures/linear")func GetGraph() graph.DMGraph {g := graph.NewDMGraph()g.AddNode("A")g.AddNode("B")g.AddNode("C")g.AddNode("D")g.AddNode("E")g.AddNode("F")g.AddNode("G")g.AddNode("H")g.AddNode("I")g.AddEdge("A", "B", 6)g.AddEdge("A", "C", 4)g.AddEdge("A", "D", 5)g.AddEdge("B", "E", 1)g.AddEdge("C", "E", 1)g.AddEdge("E", "G", 9)g.AddEdge("E", "H", 7)g.AddEdge("G", "I", 2)g.AddEdge("H", "I", 4)g.AddEdge("D", "F", 2)g.AddEdge("F", "H", 4)return g}func AOEKeyEvents() []string {g := GetGraph()eventEarly := make(map[string]int)eventLatest := make(map[string]int)activeEarly := make(map[string]int)activeLatest := make(map[string]int)// 1. 求eventEarlyindegrees := make(map[string]int)stack := linear.NewStack()for _, v := range g.Nodes {indegrees[v] = g.GetIndegree(v)if indegrees[v] == 0 {stack.Push(v)indegrees[v] = -1eventEarly[v] = 0}}for !stack.IsEmpty() {v, _ := stack.Pop()for _, edge := range g.GetEdgesByHead(v) {indegrees[edge.Tail]--if indegrees[edge.Tail] == 0 {stack.Push(edge.Tail)indegrees[edge.Tail] = -1for _, endEdge := range g.GetEdgesByTail(edge.Tail) {val, ok := eventEarly[edge.Tail]if !ok {eventEarly[edge.Tail] = eventEarly[endEdge.Head] + endEdge.Val} else {if val < eventEarly[endEdge.Head]+endEdge.Val {eventEarly[edge.Tail] = val}}}}}}// 2. 求eventLatestoutdegrees := make(map[string]int)outstack := linear.NewStack()for _, v := range g.Nodes {outdegrees[v] = g.GetOutdegree(v)if outdegrees[v] == 0 {outstack.Push(v)outdegrees[v] = -1eventLatest[v] = eventEarly[v]}}for !outstack.IsEmpty() {v, _ := outstack.Pop()for _, edge := range g.GetEdgesByTail(v) {outdegrees[edge.Head]--if outdegrees[edge.Head] == 0 {outstack.Push(edge.Head)outdegrees[edge.Head] = -1for _, endEdge := range g.GetEdgesByHead(edge.Head) {val, ok := eventLatest[edge.Head]if !ok {eventLatest[edge.Head] = eventLatest[endEdge.Tail] - endEdge.Val} else {if val < eventLatest[endEdge.Tail]-endEdge.Val {eventLatest[edge.Head] = val}}}}}}// 3.求 activityEarlyfor _, v := range g.GetEdgeList() {activeEarly[v.Head+"-"+v.Tail] = eventEarly[v.Head]}// 4. 求activeLatestfor _, v := range g.GetEdgeList() {activeLatest[v.Head+"-"+v.Tail] = eventLatest[v.Tail] - v.Val}// 5.关键活动var keyActivity []stringfor k,v := range activeEarly {if activeLatest[k] == v {keyActivity = append(keyActivity,k)}}fmt.Println(keyActivity)return keyActivity}

.go
package aoeimport "testing"func TestAOEKeyEvents(t *testing.T) {list := AOEKeyEvents()if len(list) != 6 {t.Fail()}}
添加了新方法的有向图 .go

package graphimport ("errors")const DMaxSize = 20const DMaxNum = 99999type DMGraph struct {Edges[DMaxSize][DMaxSize]intEdgeNum intNodes[]stringIndexsmap[string]int}type DEdge struct {Head, Tail stringValint}func NewDMGraph() DMGraph {var g DMGraphfor k, v := range g.Edges {for kk, _ := range v {if k == kk {g.Edges[k][kk] = 0} else {g.Edges[k][kk] = DMaxNum}}}g.Indexs = make(map[string]int)return g}func (g *DMGraph) AddNode(nodeName string) error {if g.Indexs == nil {return errors.New("不是有效的图")}if _, ok := g.Indexs[nodeName]; ok {return errors.New("已经添加过此结点")}g.Indexs[nodeName] = len(g.Nodes)g.Nodes = append(g.Nodes, nodeName)return nil}func (g *DMGraph) AddEdge(Head, Tail string, val int) error {if _, ok := g.Indexs[Head]; !ok {return errors.New("结点不存在：" + Head)}if _, ok := g.Indexs[Tail]; !ok {return errors.New("结点不存在：" + Tail)}if g.Edges[g.Indexs[Head]][g.Indexs[Tail]] != DMaxNum {return errors.New("边已经存在")}g.Edges[g.Indexs[Head]][g.Indexs[Tail]] = valg.EdgeNum++return nil}func (g *DMGraph) GetEdgeList() []DEdge {var edgeList []DEdgefor i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {for j := 0; j < len(g.Nodes); j++ {if g.Edges[i][j] != DMaxNum && i != j {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[i], Tail: g.Nodes[j], Val: g.Edges[i][j]},)}}}return edgeList}func (g *DMGraph) GetIndegree(ele string) int {tail, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return -1 //点不存在}indegree := 0for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[i][tail] != 0 && g.Edges[i][tail] != DMaxNum {indegree++}}return indegree}func (g *DMGraph) GetOutdegree(ele string) int {head, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return -1 //点不存在}outdegree := 0for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[head][i] != 0 && g.Edges[head][i] != DMaxNum {outdegree++}}return outdegree}func (g *DMGraph) GetEdgesByTail(ele string) []DEdge {var edgeList []DEdgetail, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return nil}for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[i][tail] != 0 && g.Edges[i][tail] != DMaxNum {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[i], Tail: g.Nodes[tail], Val: g.Edges[i][tail]},)}}return edgeList}func (g *DMGraph) GetEdgesByHead(ele string) []DEdge {var edgeList []DEdgehead, ok := g.Indexs[ele]if !ok {return nil}for i := 0; i < len(g.Nodes); i++ {if g.Edges[head][i] != 0 && g.Edges[head][i] != DMaxNum {edgeList = append(edgeList,DEdge{Head: g.Nodes[head], Tail: g.Nodes[i], Val: g.Edges[head][i]},)}}return edgeList}