角平分线的性质 内角平分线定理证明

在学习角平分线的轴对称之前,学习了全等三角形,因此很多同学都习惯性地利用全等三角形解题,不知道如何正确使用角平分线的性质定理或判定定理进行解题 。本篇主要介绍角平分线的基本定义,角平分线的性质与角平分线的判定,学会用数学语言进行证明,而不是所有的题目都依靠全等三角形 。

角平分线的性质 内角平分线定理证明

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角平分线的定义:知一推一角平分线的定义,相信大家都不陌生,从一个角的顶点引出一条射线(线在角内),把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线 。在定义中,已知角平分线,得到两个角相等,即“知一推一”,知道一个条件,推出一个结论 。
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通过角平分线的基本概念,可以得到两个角的数量关系,两个角相等,或者小角是大角的一半,或者大角是小角的两倍 。
角平分线的性质定理:知三推一角平分线的概念基本不会出错,但是很多同学不会使用角平分线的性质定理与判定定理 。角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等 。这句话中有两个重点:(1)角平分线上的点;(2)距离,得到的结论是相等 。
角平分线的性质 内角平分线定理证明

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【角平分线的性质 内角平分线定理证明】由1个角平分线+2个垂直得到线段相等,三个条件缺一不可 。并且要注意的是,由角平分线的性质定理不能直接得到线段OA=OB,如果要得到这个结论,需要证明△PAO≌△PBO 。
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例题1:已知CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,垂足为E,若AC=4,BC=10,△ABC的面积为14,求DE的长.
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分析:过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F,利用角平分线的性质得到DF=DE 。再利用三角形面积公式得到1/2×DE×10+1/2×DF×4=14,然后解方程即可 。
角平分线的判定定理:知三推一角平分线的判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上,这句话有两个重点:(1)距离;(2)相等,得到的结论为该点在角平分线上 。与角平分线的性质定理一样,也是只三推一 。
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由两个垂直+一个垂线段相等,可以推到角平分线 。
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例题2:已知:BP、CP分别是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.求证:PA平分∠MAN.
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分析:作PD⊥BC于点D,根据角平分线的性质得到PM=PD,PN=PD,得到PM=PN,根据角平分线的判定定理证明即可 。本题完全可以借助角平分线的性质定理和判定定理进行证明,不需要利用全等三角形 。
例题3:已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.
角平分线的性质 内角平分线定理证明

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分析:根据条件可得到FM=FN,再根据角的度数可求得∠NEF=75°=∠MDF,可证明△EFM≌△DFN,可得到FE=FD 。