pca降维的理论知识( 二 ) _矩阵

PCA推导
以下面这幅图开始我们的推导：

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上面是二维空间中的一组数据，很明显，数据的分布让我们很容易就能看出来主成分的轴（简称主轴）的大致方向。下面的问题就是如何通过数学计算找出主轴的方向。来看这张图：

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现在要做的事情就是寻找u1的方向，对于这点，我想好多人都有经验，这不就是以前用最小二乘法拟合数据时做的事情吗！对，最小二乘法求出来的直线（二维）的方向就是u1的方向！那u2的方向呢？因为这里是二维情况，所以u2方向就是跟u1垂直的方向。
先来看看svd分解
SVD不仅是一个数学问题，在工程应用中的很多地方都有它的身影，比如前面讲的PCA，掌握了SVD原理后再去看PCA那是相当简单的，在推荐系统方面，SVD更是名声大噪，将它应用于推荐系统的是大奖的获得者Koren，可以在上找到他写的文章；用SVD可以很容易得到任意矩阵的满秩分解，用满秩分解可以对数据做压缩。可以用SVD来证明对任意M*N的矩阵均存在如下分解：

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这个可以应用在数据降维压缩上！在数据相关性特别大的情况下存储X和Y矩阵比存储A矩阵占用空间更小！
在开始讲解SVD之前，先补充一点矩阵代数的相关知识。
正交矩阵
正交矩阵是在欧几里得空间里的叫法，在酉空间里叫酉矩阵，一个正交矩阵对应的变换叫正交变换，这个变换的特点是不改变向量的尺寸和向量间的夹角，那么它到底是个什么样的变换呢？看下面这张图

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假设二维空间中的一个向量OA，它在标准坐标系也即e1、e2表示的坐标是中表示为(a,b)'（用'表示转置），现在把它用另一组坐标e1'、e2'表示为(a',b')'，存在矩阵U使得(a',b')'=U(a,b)'，则U即为正交矩阵。从图中可以看到，正交变换只是将变换向量用另一组正交基表示，在这个过程中并没有对向量做拉伸，也不改变向量的空间位置，加入对两个向量同时做正交变换，那么变换前后这两个向量的夹角显然不会改变。上面的例子只是正交变换的一个方面，即旋转变换，可以把e1'、e2'坐标系看做是e1、e2坐标系经过旋转某个斯塔角度得到，怎么样得到该旋转矩阵U呢？如下
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a'和b'实际上是x在e1'和e2'轴上的投影大小，所以直接做内积可得，then
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从图中可以看到
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所以
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正交阵U行（列）向量之间都是单位正交向量。上面求得的是一个旋转矩阵，它对向量做旋转变换！也许你会有疑问：刚才不是说向量空间位置不变吗？怎么现在又说它被旋转了？对的，这两个并没有冲突，说空间位置不变是绝对的，但是坐标是相对的，加入你站在e1上看OA，随着e1旋转到e1'，看OA的位置就会改变。如下图：

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如图，如果我选择了e1'、e2'作为新的标准坐标系，那么在新坐标系中OA（原标准坐标系的表示）就变成了OA'，这样看来就好像坐标系不动，把OA往顺时针方向旋转了“斯塔”角度，这个操作实现起来很简单：将变换后的向量坐标仍然表示在当前坐标系中。