3 高等数学映射与函数 _函数

一、映射
设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f
·使得对x中每个元素x 按法则f
·在Y中有唯一确定的元素y与之对应，
·则称f为从X到Y的映射记作f:X->Y
·元素y称为元素x的像，元素x称为元素y的一个原像
举例:照镜子镜子中也有一个你 (像和原像
·定义域:集合X称为映射f的定义域记作Df 即Df=X
·值域:X中所有元素的像组成的集合称为映射f的值域
记作Rf或f(X) 即:
Rf = f(X) = {f(x)|x∈X}
映射三要素
·集合X 即定义域Df=X
·集合Y 即值域的范围 Rf?Y （Y不是值域，Y包含Rf）
·对应法则f 使对每个x∈X 有唯一确定的y=f(x)与之对应
注意
·对每个x∈X 元素x的像y是唯一的
·对每个y∈Rf 元素y的原像不一定是唯一的
·映射f的值域Rf是Y的一个字集即Rf?Y 不一定Rf=Y
·满射 Rf=Y
·单射任意x1 x2 ∈X x1≠x2 有f(x1)≠f(x2)
·一一映射:满射+单射
·函数的概念
函数的定义()
·设数集D?R(实数集) 则称映射f:D->R为定义在D上的函数通常简记为y=f(x) x∈D
·其中x称为自变量，y称为因变量 D称为定义域记作Df 即Df=D
·函数值:对每个x∈D 按对应法则f 总有唯一确定的值y与之对应这个值称为函数f在x处的函数值记作f(x)
·函数关系:因变量y与自变量x之间的这种依赖关系称为函数关系
·值域:函数值f(x)全体构成的集合称为函数f的值域记作Rf或f(D)
函数的两要素
·定义域与对应法则
函数的定义域
·有实际意义背景的函数根据实际背景中变量的实际意义确定
例:自由落体运动 s= 1/gt^2 t∈[0,T]
·抽象的用算式表达的函数其定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值
y=D:[-1,1]
y=（分母不能为0 根号内也要大于0 所以使(-1,1)
函数的图形表示方法
·坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D},称为函数y=f(x) x∈D的图形
特殊函数举例:
·符号函数
·y=sgnx = {1(当x>0 0(当x=0 -1(当x
（想象一下它的图形）
·取整函数
y=[x],[x]表示不超过x的最大整数

文章插图
·取最值函数
y=max{f(x),g(x)}

文章插图
·分段函数
【3高等数学映射与函数】·在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数
三、函数的特性
函数的有界性
·若X?D 存在M>0 对任意x∈X 有|f(x)|0且a≠1)

文章插图
1) 当a=e时记为y=lnx
·三角函数
·正弦函数 y = sinx

文章插图
·余弦函数 y = cosx

文章插图
·正切函数 y = tanx

文章插图
·余切函数 y = cotx

文章插图

3 高等数学 映射与函数

3 高等数学映射与函数