倒易空间、波矢与衍射条件( 二 ) _光的衍射

k = 2πμ
波数的含义是单位长度内所包含波的周期数；而角波数的含义就可以理解为单位长度内所包含波的相角数。这对于研究波的干涉和衍射非常有用，比如在距离上相差r的空间两点，它们之间的相角度、差就是k·r，这里的k = k1 + k2 + k3就是角波数矢量，简称波矢。波矢的量纲与前面我们定义的倒格子矢量相同，所以，前面我们引入的倒易空间也称为波矢空间。
这样，粒子的德布罗意公式可以写成动量与波矢的形式：
p = ?k
这个式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。此式也表明，波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。
还有一个著名的量子公式是能量e正比于频率υ：
e = hυ
此式也可以写成角频率（w = 2pn）的形式：
e = ?ω
角频率ω与角波数k之间的关系是：
vg = λ/T = υ/μ = ω/k
其中，vg是波包的群速度，T是周期。
3. 衍射条件
正如我们前面说过的，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。这是因为，可能存在的X射线反射由倒格矢所确定，或者说，衍射条件取决于倒格矢的分布。
关于这个结论，我们可以如下考虑：
假设一个距原点位置为r的体积元dV所散射的波的振幅正比于该体积元的电子数目n(r)dV（其中n(r)是电子密度），又设X射线的入射波矢为k，出射波矢为k'，则r处的散射波相角差为(k–k')·r = –Δk·r 。这样，出射方向上散射波的总振幅就正比于n(r)dV与相位因子exp(–iΔk·r)的乘积在整个晶体体积内的积分，于是我们定义如下量F（称为散射振幅）为：
F = ∫n(r) exp(–iΔk·r) dV
由于晶体中电子密度函数n(r)是正格子的周期性函数，因此可以将上式中的n(r)用傅立叶级数展开，从而得到：
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r] dV
可以证明，当Δk = G时，|F|2最大，衍射强度最大。此时，
F = SG∫nG exp[i(G–Δk)·r]dV
= SG∫nG exp(iG'·r)dV
= SG∫nG dV
= V SGnG
因此，晶体衍射的条件就是：
Δk = G
或即
k+ G = k'
如果对于弹性散射，光子的能量守恒，即
e = ?ω = ?ω'
而ω正比于波矢的大小k = |k|，因此，
k2 = k'2
因此，衍射条件就变成：
(k + G)2 = k2
整理后可得：
2k·G + G2 = 0
由于–G也是一个倒格矢，因此，将上式中的G换成–G仍不失一般性：
2k·G = G2
这就是漂亮的衍射条件公式。用此式可以导出布拉格（Bragg）方程和劳埃（Laue）方程，这里就不详细展开了。
如果将上述衍射条件改写成：
(2k+ G)·G = 0
那么就能理解埃瓦尔德（Ewald）作图法：以k = 2π/λ为半径作球，那么所有落在球面上的倒格子格点与圆心的连线就是衍射束的方向，如下图所示（图中X射线从左端入射到A点，被反射到P点，θ就是布拉格角）：