五合一定理 Chai跳吉尼斯记录( 二 ) _Chair跳吉尼斯记录

假设为圆内接四边形的四个边, 则有
在图 6 中, 因为 , 所以。对与使用余弦定律, 得到
所以
其余的两种情形同理可证。
注意：当时, 与重合, , 于是第 2 式变成 , 这恰是三角形的余弦定律。因此, 圆内接四边形的余弦定律是余弦定律的推广。

六、圆内接四边形的余弦定律托勒密定理托勒密定理.
假设为圆内接四边形, 则两对角线乘积等于两双对边乘积之和, 见图 7, 亦即
在图 7 中, 由圆内接四边形的余弦定律
对使用余弦定律得到
同理可得
两式相乘得到
从而

七、托勒密定理毕氏定理这是显然的！只要将圆内接四边形改成长方形, 由托勒密定理立即就得到毕氏定理, 故毕氏定理是托勒密定理的特例,托勒密定理是毕氏定理的推广。
顺便谈一下由毕氏定理看出托勒密定理的一种发现理路。
由一个直角三角形, 作出另一个相同的直角三角形, 合成一个长方形, 再做一个外接圆。毕氏定理的 (直角三角形), 两元化为 (长方形),解释为长方形两个对角线乘积等于两双对边乘积之和。再把长方形改为任意圆内接四边形, 仍然有两个对角线乘积等于两双对边乘积之和, 就是托勒密定理。见图 8 。
托勒密定理的证明：在图 9 中, 过点作使得。因为 , 所以。于是
同理可知 , 因此
两式相加就得到。
托勒密定理是许多三角恒等式的根源, 例如它可以推导出和差角公式、正弦定律与余弦定律。托勒密利用这些结果来制作弦表(相当于正弦函数的数值表) 。
底下我们用托勒密定理推导出余弦定律：
如图 10, 考虑 , 将它翻转 180 度, 使得底边仍然重迭在一起, 得到 , 则四点共圆, 令。因为 , 由托勒密定理得到

八、结语总结上述, 我们有如下的逻辑网络 (logical net)：
还有一条逻辑的小径：
托勒密定理三角形的余弦定律毕氏定理。
毕氏定理展现着简洁, 历久弥新, 可以不断生长与加深拓广。下面三式被公认为是重要且美丽的公式：
平面几何学的毕氏公式： .
微积分的欧拉 (Euler) 公式： .
物理学的爱因斯坦质能互变公式：.
毕氏定理与圆都属于二次的世界, 前者掌握住最基本的长度与距离概念与计算, 从而也有了圆的方程式 , 这根本就是毕氏定理的化身！
圆最完美与对称, 等速率圆周运动与毕氏定理更是周期运动与整个三角学的出发点。

参考文献Euclid. The Elements I. Translated by Sir Thomas L. Heath. Dover, 1956.
Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition. 19683. Elia Maor and Eugen Jost, Beautiful Geometry. Princeton University Press, 2014.