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广义傅立叶级数【广义傅立叶级数】广义傅立叶级数(generalized Fourier series)是特殊的正交级数 ， 函式f(r)在区间[0 ， a]上具有二阶连续导数 ， 则f(r)可以展开成以贝塞尔函式为基的广义傅立叶级数 。
基本介绍中文名：广义傅立叶级数
外文名：generalized Fourier series
所属学科：数学
简介：一种特殊的正交级数
相关概念：贝塞尔(Bessel)函式
基本介绍对于定义在区间[-1 ， 1]上的具有二阶连续导数的函式f(x) ， 当它与P ， (z)具有相同的边界条件时 ， 可按Pl(x)展为绝对且一致收敛的级数 ，
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称之为广义傅立叶级数 。{Pl(x)}可以看作广义傅立叶级数展开的基 ， 这说明勒让德多项式(Pl(x))是完备的 。在式(1)两端乘以Pk(x)并在区间[-1 ， 1]上积分 ， 利用正交归一性 ， 得
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于是 ， 得广义傅立叶係数
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如果将变数x换回θ ， 则式(1)和式(2)变为
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例题解析【例1】以勒让德多项式为基 ， 在[-1 ， 1]上将函式
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展为广义傅立叶级数 。解：这里我们当然可以按照式(1)和式(2)将f(x)展开 ， 但是由于f(x)是比较简单的三次多项式形式 ， 应该可以表示为P0(x) ， P1(x) ， P2(x)和P3(x)的线性组合 ， 从而可以利用待定係数法确定广义傅立叶係数 ， 不妨设
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比较两端係数 ， 得
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于是 ，
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因此 ，
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