数学学科概念变分法

文章插图
变分法(数学学科概念)【数学学科概念变分法】变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函式的数学领域，和处理数的函式的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函式：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。有些曲线上的经典问题採用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B 。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
基本介绍中文名：变分法
外文名：Calculus of Variations(variational method)
定义：处理函式的变数的数学领域
特点：处理数的函式的普通微积分相对
学科：数学、物理学、经济学
相似名词：变分原理
基本信息简介变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函式的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的套用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函式中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。发展简史变分法可能是从约翰·伯努利(Johann Bernoulli)1696年提出最速曲线(brachistochrone curve)问题开始出现的. 它立即引起了雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli)和洛必达的注意，但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字. 拉格朗日对这个理论的贡献非常大。拉格朗日(1786)确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科。对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810)，Carl Friedrich Gauss(1829)，Simeon Poisson(1831)，Mikhail Ostrogradsky(1884)，和Carl Jacobi(1837)都曾做出过贡献。Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch(1849)，Jellett(1850)，Otto Hesse(1857)，Alfred Clebsch(1858)，和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的着名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个希尔伯特(Hilbert)促进了更深远的发展. 在20世纪David Hilbert, Emmy Noether，Leonida Tonelli，Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。Marston Morse 将变分法套用在Morse理论中。Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。欧拉-拉格朗日方程简介欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。值得指出的是，E-L方程只是泛函有极值的必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在套用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以儘管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。推导对于泛函

数学学科概念 变分法

数学学科概念变分法