狄利克雷问题 _生活百科

文章插图
狄利克雷问题【狄利克雷问题】在数学中，狄利克雷边界条件，为常微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。狄利克雷问题(Dirichlet's problem)亦称第一边值问题，是调和函式的一类重要边值问题。求一个在区域D内调和并在(DU?D)上连续的函式 u(z)的问题，要求它在?D上取给定的连续函式φ(ξ)（ξ∈?D）。
基本介绍中文名：狄利克雷问题
外文名：Dirichlet's problem
别称：第一边值问题
类别：是调和函式的一类重要边值问题
一级学科：数学
二级学科：调和函式
简介全体调和函式的总体，是拉普拉斯方程

文章插图
的所有解的总体，这方程是最简单的二阶偏微分方程之一.类似于常微分方程情形，为了可以区分出一个确定的解而给出了附加的条件.完全一样，为了要完全确定拉普拉斯方程的一个解，也需要一些附加的条件.对于拉普拉斯方程的这些条件，通常表述成称之谓边值条件的形状，即，表述成所求解在区域的边界上所应当满足的一些给定关係式的形状.这样的边值条件，可以由所给问题的解的那些物理条件本身，自然地得到。这类条件中最简单的那一种，归结为在区域的边界的每一点上给定所求的调和函式的值。由此，产生了所谓第一边值问题，或者，狄利克雷问题：求出一个在区域D内调和并且在

文章插图
内连续的函式u(z)，使它在D的边界上取已经给定的连续值u(ξ) 。举例例如，在某一区域内求热场的温度或静电场的势能，当在这区域的边界上的温度或势能已经知道时，便可化为狄利克雷问题。在套用中，边界值u(ξ)是连续的这个条件，是限制过严了，所以需要考虑广义狄利克雷问题：设已经在区域D的边界C上给出了一个函式u(ξ)，它出了在有限多个点ξ1，ξ2，…，ξn处有第一类间断点外，是处处连续的。要求找出一个在区域D内的有界调和函式u(z)，使它在函式u(ξ)的所有连续点处都取值u(ξ)** 。椭圆型方程的狄利克雷问题求二阶椭圆型方程在区域边界上的值为已知的解。设区域

文章插图
的边界为

文章插图
。求在

文章插图
上连续、在

文章插图
内满足给定的椭圆型方程、在

文章插图
上取给定的连续边界值的解的问题，称为椭圆型方程的狄利克雷问题。特别地，对有界区域

文章插图
，如果边界点都是正则点（参见“闸函式”），调和方程△u=0的狄利克雷问题的解存在且位移。对于一般的强椭圆型方程

文章插图
如果c(x)≤0，f 及 L 的係数有界并属于Cα(Ω) 。假设有界

文章插图
的每一边界点上满足外部球条件；即对每一点