非线性科学概念混沌( 三 ) _生活百科

xn+1=λxn(1-xn)的叠代过程描述虫口变化，其中xn代表第n代虫口， λ是一个表示虫口增长率的参数，取值範围为0≤λ≤4 。对应一个λ值，任取初值x0 ，根据前述叠代关係，反覆叠代算出x1,x2,... 不看最初的有限个x值。它显示出了简单叠代模型的複杂行为。在0≤λ≤1时，虫口数最终为0 ，表明在此範围内虫种灭绝。在1≤λ≤3时，虫口数随λ单值上升， x(λ)=1－1/λ ，叠代值为不动点。从λ>1开始，出现两种不同类型的虫口变化方式：先是x(λ)在2个点之间跳跃，然后在4,8,16,…,2n个点间作周期性跳跃，表现出倍周期分岔规律，这个λ区是对初值不敏感的周期变化区；当λ≥λ∞…时存在确定的λ区内，稍微改变初值则其上的x(λ)所经历的具体数值就完全不同，这正是对初值敏感的混沌区，如果提高精度在此区可看到小的对初值不敏感的周期变化区。这种在混沌区内镶嵌的周期区称为周期视窗，其分叉图存在自相似结构。不难看出，即使如xn+1=λxn(1－xn)这样简单的叠代，由于包含非线性作用，也会表现出从分岔到混沌的变化过程和周期运动与混沌运动互相交织、乱而有章的複杂图景。通向混沌的道路对各种非线性数学模型的理论研究和对具体非线性系统的实验研究，揭示了系统随控制参数变化由规则运动通向混沌运动的多种典型途径，其中具有代表性的有： ①倍周期分岔道路。系统中相继出现2,4,8,…倍周期，最终进入混沌状态。极限点附近，这一系列分岔在参数空间和相空间都表现出尺度变换下的不变性，即自相似性。使用重正化群计算可得到这些分岔过程的一套普适常数，它们与实验事实相符。②準周期道路。随着控制参数的变化，系统陆续出现不动点、极限环、準周期二维环面，随即而进入混沌状态。这是1975年D.吕埃勒和F.塔肯思提出的一种混沌发生机制。该发生机制可用圆映射说明，这里也发现了一些标度律和普适常数。③阵发混沌道路。这种道路表现为周期运动和混沌运动交替出现。随着控制参数接近转变点，在规则运动中不时崩发的随机运动片段变得越发频繁，最后进入完全的混沌状态。分析表明，混沌状态发生机制可用离散映射的切分岔过程解释。混沌研究的发展方向混沌运动、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。从20世纪80年代开始，在电浆放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、雷射器和光双稳态装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动等领域内到处发现混沌，显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。作为非线性科学主要研究领域，混沌研究的主要方向集中在如下几个方面：①时空混沌；②量子混沌；③混沌运动的进一步分类；④混沌吸引子的精细刻画；⑤混沌的同步和控制等。

文章插图
一个形似蝴蝶翅膀的洛侖兹吸引子对混沌的研究虽已有一些严格的数学方法，但大量的研究主要依靠计算机数值实验。混沌的研究和许多学科有关。在分析力学中，运用KAM定理可判断一类近似可积的哈密顿系统（一种非线性动力学系统）中能否出现混沌运动。开放系统的混沌运动的研究与耗散结构理论有密切联繫。混沌的研究与协同学也紧密相关，两者都研究系统由有序向无序和由无序向有序的转化。在系统科学中，也日益重视对混沌的研究。对混沌研究的套用前景还有待进一步揭示。混沌现象的发现还使人们对于认识确定论与随机论之间的关係得到新的启示。混沌研究的意义混沌研究的实际意义是多方面的。①混沌运动的发现，使人们看到普遍存在于自然界而长期视而不见的一种运动形式，从而理解过去难以理解的许多现象。如1977年后曾发现，放在微波谐振腔中的超导隧道结随着增益的提高出现反常噪声，在4K低温下进行的实验中噪声的等效温度高达5×104K以上，这是用当时已知的任何机制都无法解释的。后来明白这是系统进入了混沌区，噪声来自动力学本身。高能粒子加速器中的束流损失、磁约束核聚变装置中电浆的泄漏、核电站循环水系统可能发生的有害回流等，都与混沌现象有联繫。②混沌运动的发现提供了一种考虑问题的新角度。如长期天气预报问题、洛伦茨吸引子的发现、大气动力学方程组解对初值的敏感性，动摇了原来以为只要提高计算精度即可解决长期天气预报的想法。而混沌吸引子的遍历性质，恰好可保证许多长时间平均量的稳定性和对初始条件的无关性。因为长期天气预报所关心的是相当长时期以后雨量、温度的平均值，混沌反而增加了长期天气预报的可靠性。另外，地磁场近百万年来的多次随机转向、影响全球天气变化的厄尔尼诺现象，都可从确定性系统的混沌运动角度加以研究。③混沌运动的研究对用物理学、数学等精确科学方法研究複杂的生命现象有重要启发作用。如各种生物节律，既非完全周期，又非纯粹随机。它既有受自然界周期过程如季节、昼夜等影响的一面，又保持着其自身内秉特性。採用耦合非线性振子等数学模型模拟配合生理实验，可揭示各种心律不齐、房室传导阻碍、心室纤维颤动与混沌运动的可能联繫。考察人类的脑电波，发现癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波更接近随机信号。採用维数测量发现这些信号并不真正随机，而是来至维数不很高的吸引子上的动力学行为。④混沌研究改变了人类的自然观。对于统一的自然界，历来有确定论和机率论两套对立的描述体系。牛顿力学建立以来的科学传统推崇确定论体系，而把机率论描述当作不得已而为之的补充。混沌运动对确定性系统本身就存在着内秉随机性的揭示，无疑会使人们从这种人为对立的描述系统中解脱出来，深化对必然和偶然的认识，更全面地认识自然界的统一性。混沌现象的发现和混沌理论的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破。许多科学家认为， 20世纪物理学三件辉煌的科学奇蹟是相对论、量子论和混沌理论的创立。

非线性科学概念 混沌( 三 )

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