牛顿旋转轨道定理( 二 )

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图2.轨道半径相同，角速度不同大约80年后，于1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。在这本巨着里，牛顿创建的物理理论能够完全解释克卜勒的三条定律。这理论建构于牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。牛顿提出，任意两个物体彼此之间相互作用的引力是一种有心力，大小与这两个物体各自的质量乘积成正比，与这两个物体之间的距离平方成反比。从他的运动定律来论述，感受到这种作用力的任意粒子的轨道是圆锥曲线，更明确地说，假若这轨道不延伸至无穷远，则必会呈椭圆形。可是，这结论只成立于当系统里只有两个物体（二体问题）的案例。在牛顿之后已有几百年了，虽然科学家能够找到一些特别案例的解答，像欧拉三体问题（Euler's three-body problem）的解答，三个或三个以上的物体因为相互的引力作用而呈现的运动（三体问题、多体问题）仍旧无解。牛顿建议，由于太阳的引力是主掌的作用力，足以掩盖其它作用力，取至一阶近似，其它行星的影响可以被忽略，因此，行星绕着太阳的公转轨道大约为椭圆形。同理，月亮绕着地球的椭圆形公转轨道，所牵涉到的的作用力，极大部分是地球引力，而太阳的引力和其它太阳系的天体的引力都可以被忽略。但是牛顿也表明，行星轨道和月球轨道的拱点进动是这些被忽略的作用力所造成的；特别是月球轨道的拱点进动是因为太阳引力的微扰效应所产生的现象。数学概述设定一个感受到任意有心力F、质量为m的移动中的粒子，由于其运动为平面运动，粒子的位置可以以极坐标表示。设定极坐标系的原点于力中心点。随着时间演进，移动于轨道的粒子的极坐标是时间t的函式

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。设定另一个感受到有心力

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、质量为m的移动中的粒子，径向运动也是r(t) ，但是角速度是第一个粒子的k倍；也就是说，两个粒子的角坐标的关係式为

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。牛顿表明，增添一个立方反比有心力，将这有心力与

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共同施加于第二个粒子，就可得到想要的运动：

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其中，

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是第一个粒子的角动量，是有心力的一个运动常数（守恆量）。称这方程为“增力方程” 。增添立方反比力会使得粒子的运动路径也有所改变。由于主要目标是要了解径向变数和角变数之间的关係，所以不需考虑径向运动和角运动对于时间的关係。为了达到这目标，不限制角变数必须在0至

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之间；随着粒子一圈又一圈地绕着力中心点公转，角变数可以无定限地递增。例如，假设粒子绕着力中心点公转两圈，然后绕到初始位置，其终结角度不等于初始角度，而是增加了2×360° = 720° 。角变数正式定义为角速度的积分：