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所以叠代公式为：

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搜寻方向较近似于牛顿法

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列表计算如下：

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01.511.737121.698731.6975......切线法方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值x0选取后，过( x0,f(x0))作切线，其切线方程为：y- f(x0)=f′(x0)(x-x0)一般地，设Xn是x*的第n次近似值，过( x,f(x))作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为： 即用切线与x轴交点的横坐标近似代表曲线与x轴交点的横坐标 。牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法 。

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定理设f(x)在[a,b]满足(1) f(a)·f(b)<0(2) f(x)∈[a,b]，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变 。(3) f(x)·f″(x)>0, x∈[a,b] 则方程f(x)=0在[a,b]上有且只有一个实根，由牛顿法叠代公式计算得到的近似解序列收敛于方程 f(x)=0 的根 x* 。由方程f(x)=0得到的牛顿叠代形式：由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时， (x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的 。牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函式的一阶导数存在 。其它例子第一个例子求方程

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的根 。令

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，两边求导，得

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。由于

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，则

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，即

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，可知方程的根位于0和1之间 。我们从

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开始 。

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第二个例子牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能 。求a的m次方根 。

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设

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而a的m次方根，亦是x的解，以牛顿法来叠代：

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（或

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）套用求解最值问题牛顿法也被用于求函式的最值 。由于函式取最值的点处的导数值为零，故可用牛顿法求导函式的零点，其叠代式为

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