《欧几里德算法》原理及应用 _方块

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
解释：a和b的最大公约数，等于b和a除以b余数的最大公约数
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r ----->a可以被d整除，b可以被d整除，则a-kb也可以被d整除。即r可以被d整除
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b，d |r，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
案例：
假设你是农场主，有一小块土地。
如何将一块地均匀地分成方块，并确保分出的方块是最大的呢？使用D&C策略！D&C算法是递归的。使用D&C解决问题的过程包括两个步骤。
(1) 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
(2) 不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。
下面就来使用D&C找出前述问题的解决方案。可你能使用的最大方块有多大呢？
【《欧几里德算法》原理及应用】首先，找出基线条件。最容易处理的情况是，一条边的长度是另一条边的整数倍。
如果一边长25m，另一边长50m，那么可使用的最大方块为25m×25m 。换言之，可以将这块地分成两个这样的方块。
现在需要找出递归条件，这正是D&C的用武之地。根据D&C的定义，每次递归调用都必须缩小问题的规模。如何缩小前述问题的规模呢？我们首先找出这块地可容纳的最大方块。
你可以从这块地中划出两个640 m×640 m的方块，同时余下一小块地。现在是顿悟时刻：何不对余下的那一小块地使用相同的算法呢？
最初要划分的土地尺寸为1680 m×640 m，而现在要划分的土地更小，为640 m×400 m 。适用于这小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块。换言之，你将均匀划分1680 m×640 m土地的问题，简化成了均匀划分640 m×400 m土地的问题！
欧几里得算法
前面说“适用于这小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块”，如果你觉得这一点不好理解，也不用担心。这确实不好理解，但遗憾的是，要证明这一点，需要的篇幅有点长，在本书中无法这样做，因此你只能选择相信这种说法是正确的。如果你想搞明白其中的原因，可参阅欧几里得算法。

文章插图
下面再次使用同样的算法。对于640 m × 400 m的土地，可从中划出的最大方块为400 m × 400 m 。
这将余下一块更小的土地，其尺寸为400 m × 240 m 。
你可从这块土地中划出最大的方块，余下一块更小的土地，其尺寸为240m × 160 m 。
接下来，从这块土地中划出最大的方块，余下一块更小的土地。
余下的这块土地满足基线条件，因为160是80的整数倍。将这块土地分成两个方块后，将不会余下任何土地！
因此，对于最初的那片土地，适用的最大方块为80m×80m 。
这里重申一下D&C的工作原理：
(1) 找出简单的基线条件；
(2) 确定如何缩小问题的规模，使其符合基线条件