状态函数的含义及其基本特征是什么,态函数的特点是什么( 三 ) _生活百科

由于不是凸函数，我们想先处理转化一下，考虑几何间隔和函数间隔的关系，，我们改写一下上面的式子:
这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔，只不过此时的w不受的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数，没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响，但我们最后要求的仍然是w和b的确定值，不是他们的一组倍数值，因此，我们需要对做一些限制，以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1，也即是将离超平面最近的点的距离定义为。由于求的最大值相当于求的最小值，因此改写后结果为:
这下好了，只有线性约束了，而且是个典型的二次规划问题(目标函数是自变量的二次函数) 。代入优化软件可解。
到这里发现，这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图，画好分类超平面，在图上标示出间隔那么直观，但每一步推导有理有据，依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。
接下来介绍的是手工求解的方法了，一种更优的求解方法。
6 拉格朗日对偶(Lagrange duality)
先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题:
目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子，得到拉格朗日公式为
L是等式约束的个数。
然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行，因此他们之间存在线性关系。(参考《最优化与KKT条件》)
然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下:
我们定义一般化的拉格朗日公式
这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数:
这里的P代表primal 。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w) 。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。
因此我们可以写作
这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。
我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢?
我们先考虑另外一个问题
D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话:
这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X) 。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下:
下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的(affine， ) 。并且存在w使得对于所有的i，。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。还有另外，满足库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition)，该条件如下:
所以如果满足了库恩-塔克条件，那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式(5)，这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果，那么。也就是说，时，w处于可行域的边界上，这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部( 的)点都是不起作用的约束，其。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。