等比数列求和公式导入 等比数列求和公式

【考试要求】
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;
3.体会等比数列与指数函数的关系.
【知识梳理】
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数).
(2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G=±.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;
通项公式的推广:an=amqn-m.
(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,
ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
【微点提醒】
1.若数列{an}为等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a},也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.

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【考点聚焦】
考点一 等比数列基本量的运算
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【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=
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考点二 等比数列的判定与证明
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【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=1的情形进行验证.
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考点三 等比数列的性质及应用
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【规律方法】
1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
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【反思与感悟】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想:如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q≠1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.
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【核心素养提升】
【数学运算】——等差(比)数列性质的应用
1.数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.
2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.