弦中点,弦中点问题点差法

经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是_____．

文章插图
解：由题知抛物线焦点为（1，0）
直线斜率存在时，设焦点弦方程为y=k（x-1），代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：x1+x2=2k2+4k2，所以中点横坐标：x=x1+x22=k2+2k2
【弦中点,弦中点问题点差法】代入直线方程，中点纵坐标：y=k（x-1）=2k．即中点为（k2+2k2，2k）
消参数k，得其方程为y2=2x-2
直线斜率不存在时，（1，0）也满足方程．
故答案为：y2=2x-2
高中数学椭圆平行弦中点问题

文章插图
向左转|向右转
据上面分析可得此类问题的同一解决方案
清楚了吗？
椭圆平行弦中点轨迹一定过原点？

文章插图
x2/a2+y2/b2=1
一弦过原点，是y=kx
则(1/a2+k2/b2)x2-1=0
韦达定理
x1+x2=0
所以中点横坐标是(x1+x2)/2=0
在y=kx上
所以中点是原点
即所有过原点的弦的中点都是原点
所以平行弦中点轨迹一定过原点
弦中点问题点差法

文章插图
解：设这条直线为y-1=k(x-4)
将y=k(x-4)+1代入椭圆方程9x2+25y2=225，得：
9x2+25[k2(x2-8x+16)+1+2k(x-4)]=225
即(9+25k2)x2-(200k2-50k)x+400k2-200k-200=0
设交点分别为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=(200k2-50k)/(9+25k2)=2×4=8
即200k2-50k=72+200k2
即k=-1.44
则这条直线为y=-1.44(x-4)+1=6.76-1.44x

弦中点,弦中点问题 点差法

弦中点,弦中点问题点差法