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作者：yeler082
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/yeler082/article/details/78755095
机器学习中的线性代数（3）——从多个角度去理解“矩阵”3这是《机器学习中的数学基础》系列的第3篇 。
矩阵的初步理解在研究矩阵乘法之前 ， 我们先来看看什么是矩阵 。通俗地说 ， 把多个向量并排放到一起 ， 就叫做矩阵 。比如下面这个2*2矩阵 ， 就是由向量（2,1）和向量（5,3）组合到一起的：
通常 ， 我们所说的mxn的矩阵 ， 是指矩阵有m行 ， n列 。
矩阵的进一步理解接下来 ， 我们看矩阵和向量的乘法是什么样子的 。先直接抛出定义的公式：
这个公式我们要好好研究下 ， 把它研究透彻了 ， 就能明白矩阵和向量的乘法中 ， 矩阵到底扮演一个什么样的角色 。
我们先来看结果 ， 矩阵乘以向量 ， 结果还是一个向量 。不难看出 ， 向量（ae+bf ， ce+df）可以分解成两个向量的和 。这两个向量分别是（ae ， ce）和（bf ， df） ， 我们把公共的系数提出来 ， 表示为：
这是啥？这不就是向量（a ， c）和向量（b ， d）的线性组合吗？也就是说 ， 矩阵乘以向量 ， 就是以矩阵各列进行的线性组合 ， 而这个线性组合的系数（权）就是向量的各个元素 。通俗点说 ， 矩阵乘以一个“旧”向量 ， 把它变成了一个“新”向量 。我们把这个变换 ， 就叫做线性变换 。也就是说 ， 矩阵的作用就是一个线性变换 。
矩阵的深层次理解你以为这就结束了吗？并没有 。下面我们将从基的角度再一次理解矩阵 。
我们已经知道给定任意一个向量（e ， f） ， 它等价于（ei+fj） ， i和j是一组基 。而这个“旧”向量（e ， f） ， 经过一个矩阵[a ， b；c ， d]的作用后 ， 变成了“新”向量（eh+fk） 。其中向量h=（a ， c） ， 向量k=（b ， d） 。对比前后两个新旧向量 ， 你发现什么了吗？
你会发现 ， 它们的系数是一样的 ， 都是e和f 。那这又说明什么呢？首先 ， 可以看做又再一次验证了矩阵的作用确实是线性变换 。其次 ， 我们又需要一次思维跳跃 。“旧”向量（ei+fj）我们把它看做由基i和j构成；那新向量（eh+fk）呢？我们也可以把它看成由新的基h和k构成 。
重点来了 ， 这次由某个矩阵“主导”的线性变换 ， 只有基底发生了变化（从i、j到h、k） 。我们把h和k放在一起 ， 发现[h k]就是这个产生线性变换的矩阵啊 。因此 ， 我们看到的矩阵 ， 竟然是一组基 。当矩阵乘以向量时 ， 得到的结果就是以矩阵的各列作为基 ， 以旧向量元素为权（系数）而构造的一个新向量 。
今天我们以各种角度去剖析了矩阵的含义 ， 你都明白了吗？欢迎留言讨论 。

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