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至于圆面积 ， 在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中 ， 它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步” 。这里“周”是圆周长 ， “径”是指直径 。这个圆面积计算公式是正确的 。只是当时取径一周三（即π≈3） 。于是由此计算所得的圆面积就不够精密 。《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题 。但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法 。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的 。《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠 ， 因其功用不同因而名称各异 ， 其实质都是正截面为等腰梯形的直稜柱 ， 他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之 ， 以高若深乘之 ， 又以袤乘之 ， 即积尺” 。这里上、下广指横截面的上、下底（a ， b）高或深（h） ， 袤是指城垣……的长（l） 。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2（a+b）h.刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广套用到空间图形 ， 成为“损广补狭”以证明几何体体积公式 。
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堑堵刘徽还用棋验法来推导比较複杂的几何体体积计算公式 。所谓棋验法 ， “棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法 ， 例如长方体本身就是“棋”[图1－32（1）]斜解一个长方体 ， 得两个两底面为直角三角形的直三稜柱 ， 我国古代称为“堑堵”（如图） ， 所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一 。《九章算术》商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆亭”）的体积计算公式 。甚至对三个侧面是等腰梯形 ， 其他两面为勾股形的五面体[图1－33（1）] ， 上、下底为矩形的拟柱体（古代称“刍童”）以及上底为一线段 ， 下底为一矩形的拟柱体（古代称“刍甍”）（“甍”音“梦”）等都可以计算其体积 。（3）、《九章算术》中的代数内容同样很丰富 ， 具有当时世界的先进水平 。1．开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法 ， 而且计算步骤基本一样 。所不同的是古代用筹算进行演算 ， 现以少广章第12题为例 ， 说明古代开平方演算的步骤 ， “今有积五万五千二百二十五步 。问为方几何” 。“答曰：二百三十五步” 。这里所说的步是我国古代的长度单位 。“开方（是指开平方 ， 由正方形面积求其一边之长 。）术曰：置积为实（即指筹算中把被开方数放置于第二行 ， 称为实）借一算（指借用一算筹放置于最后一行 ， 如图1－25（1）所示用以定位） 。步之（指所借的算筹一步一步移动）超一等（指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等 ， 这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25（2）所示） 。议所得（指议得初商 ， 由于实的万位数字是5 ， 而且22<5<32 ， 议得初商为2 ， 而借算在万位 ， 因此应在第一行置初商2于百位 ， 如图1－25（3）所示） 。以一乘所借一算为法（指以初商2乘所借算一次为20000 ， 置于“实”下为“法” ， 如图1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000 ， 由“实”减去得：55225-40000=15225 ， 如图1－25（5）所示）除已 ， 倍法为定法 ， 其复除 ， 折法而下（指将“法”加倍 ， 向右移一位 ， 得4000为“定法”因为要求平方根的十位数字 ， 需要把“借算”移至百位 ， 如图1－25（6）所示） 。复置借算步之如初 ， 以複议一乘之 ， 所得副 ， 以加定法 ， 以除（这一段是指：要求平方根的十位数字 ， 需置借算于百位 。因“实”的千位数字为15 ， 且4×3<15<4×4 ， 于是再议得次商为3 。置3于商的十位 。以次商3乘借算得3×100=300 ， 与定法相加为4000+300=4300 。再乘以次商 ， 则得：3×4300=12900 ， 由“实”减去得：15225－12900=2325 。如图1－25（7）所示 ， 以所得副从定法 ， 复除折下如前（这一段是指演算如前 ， 即再以300×1+4300=4600向右移一位 ， 得460 ， 是第三位方根的定法 ， 再把借算移到个位 ， 如图1－25（8）所示；又议得三商应为5 ， 再置5于商的个位如图1－25（9）所示 ， 以5+460=465 ， 再乘以三商5 ， 得465×5=2325经计算恰尽如图1－25（10）所示 ， 因此得平方根为235 。）上述由图1－25（1）—（10）是按算筹进行演算的 ， 看起来似乎很繁琐 ， 实际上步骤十分清楚 ， 易于操作 。它的开平方原理与现代开平方原理相同 。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换 。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换 ， 但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的 。《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言 ， 与“方程”的含义并不相同 。《九章算术》中多元一次方程组的解法 ， 是将它们的係数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程”） 。消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换 。由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中 ， 不可避免地要出现正负数的问题 ， 于是在方程章第三题中明确提出了正负术 。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反 ， 要令‘正’、‘负’以名之” 。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤 ， 负算黑 ， 否则以邪正为异” 。这就是规定正数用红色算筹 ， 负数用黑色算筹 。如果只有同色算筹的话 ， 则遇到正数将筹正放 ， 负数时邪（同斜）放 。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数 ， 或在个位数上记斜划以表示负数 ， 如（即—1824） ， 后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本 。关于正、负数的加减运算法则 ， “正负术曰：同名相益 ， 异名相除 ， 正无入负之 ， 负无入正之 。其异名相除 ， 同名相益 ， 正无入正之 ， 负无入负之” 。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号 。“相益”、“相除”是指二数相加、相减 。术文前四句是减法运算法则：（1）如果被减数绝对值大于减数绝对值 ， 即a>b≥0 ， 则同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b） ， 异名相除：（±a）-（b）=±（a+b） 。（2）如果被减数绝对值小于减数绝对值 ， 即b>a≥0 。①如果两数皆正则a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a） 。中间一式的a和a对消 ， 而（b-a）无可对消 ， 则改“正”为“负” ， 即“正无入负之” 。“无入”就是无对 ， 也就是无可对消（或不够减或对方为零） 。②如果两数皆负则（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a） 。在中间的式子里（-a）和（-a）对消 ， 而-（b-a）无可对消 ， 则改“负”为“正”所以说“负无入正之” 。③如果两数一正一负 。则仍同（1）的异名相益 。术文的后四句是指正负数加法运算法则 。（1）同号两数相加 ， 即同名相益 ， 其和的绝对值等于两数绝对值和 。如果a>0 ， b>0 ， 则a+b=a+b ， （-a）+（-b）=-（a+b）（2）异号两数相加 ， 实为相减 ， 即异名相除 。如果正数的绝对值较大 ， 其和为正 ， 即“正无入正之” 。如果负数的绝对值较大 ， 其和为负 ， 即“负无入负之” 。用符号表示为①如果a>b≥0 ， 则 a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b ， 或 （-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b） 。②如果b>a≥0 ， 则 a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a） ， 或 （-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a 。关于正负数的乘除法则 ， 在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算 。可惜书中并未论及 ， 直到元代朱世杰于《算学启蒙》（1299年）中才有明确的记载：“同名相乘为正 ， 异名相乘为负” ， “同名相除所得为正 ， 异名相除所得为负” ， 因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结 。至于正负数概念的引入 ， 正负数加减运算法则的形成的历史记录 ， 我国更是遥遥领先 。国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多（约598-？）欧洲到16世纪才承认负数 。历史考证现传本《九章算术》成书于何时 ， 众说纷纭 ， 多数认为在西汉末到东汉初之间 ， 约公元一世纪前后 ， 《九章算术》的作者不详 。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶 。由于二千年来经过辗转手抄、刻印 ， 难免会出现差错和遗漏 ， 加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解 ， 因此历史上有过多次校正和注释 。关于对《九章算术》所做的校注主要有：西汉张苍增订、删补 ， 三国时曹魏刘徽注 ， 唐李淳风注 ， 南宋杨辉着《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类 ， 清李潢（？—1811年）所着《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明 ， 尤其是图文并茂之作 。现代钱宝琮（1892—1974年）曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点 ， 用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释 。80年代以来 ， 今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版 。历史影响《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则 。在代数方面 ， 《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同 。注重实际套用是《九章算术》的一个显着特点 。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯 ， 甚至经过这些地区远至欧洲 。