度量
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拓扑：
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，因此赋范线性空间是度量空间；但是由度量不一定可以得到範数 。(2) 如果赋范线性空间作为（由其範数自然诱导度量
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的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间 。(3) 内积
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範数：
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；範数不一定可以推出内积；当範数满足平行四边形公式
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时，这个範数一定可以诱导内积；完备的内积空间称为希尔伯特空间 。(4) 如果去掉範数定义中的正定性，那幺得到的泛函称为半範数（seminorm或者叫準範数），相应的线性空间称为赋準范线性空间 。对于X上的两种範数
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，
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，若存在正常数C满足：
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那幺称
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弱于
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。如果
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弱于
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且
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弱于
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，那幺称这两种範数等价 。可以证明，有限维空间上的範数都等价，无限维空间上至少有阿列夫（实数集的基数）种不等价的範数 。运算元範数如果
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和
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是巴拿赫空间，
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是
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的线性运算元，那幺可以按下述方式定义
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：
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根据定义容易证明：
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对于多个空间之间的複合运算元，也有，
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。如果一个线性运算元T的範数满足
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那幺称T是有界线性运算元，否则称T是无界线性运算元 。如，在常用的範数下，积分运算元是有界的，微分运算元是无界的 。容易证明，有限维空间的所有线性运算元都有界 。空间範数基本性质有限维空间上的範数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，範数是元素（在这组基下）的坐标的连续函式 。性质2（Minkowski定理）：有限维线性空间的所有範数都等价 。性质3（Cauchy收敛原理）：实数域（或複数域）上的有限维线性空间（按任何範数）必定完备 。性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何範数都收敛 。常用範数这里以Cn空间为例，Rn空间类似 。最常用的範数就是p-範数 。若