拉普拉斯方程 _生活百科

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拉普拉斯方程【拉普拉斯方程】拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关係的公式。
基本介绍中文名：拉普拉斯方程
外文名：Laplace's equation
别称：调和方程、位势方程
提出者：拉普拉斯
关键字：微分方程、拉普拉斯定理
涉及领域：电磁学、天体物理学、力学、数学
基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1 。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：

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，式中γ是液体表面张力係数，该公式称为拉普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为：

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，其中?2为拉普拉斯运算元，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变数x、y、z二阶可微的实函式φ ：其中?2称为拉普拉斯运算元。拉普拉斯方程的解称为调和函式。如果等号右边是一个给定的函式f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分运算元

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（可以在任意维空间中定义这样的运算元）称为拉普拉斯运算元，英文是Laplace operator或简称作Laplacian 。方程的解称为调和函式，此函式在方程成立的区域内是解析的。任意两个函式，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函式之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将複杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。二维方程两个自变数的拉普拉斯方程具有以下形式：

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解析函式的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。人物介绍拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师範学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的套用。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量的精神带到内阁里。在席捲法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显着地打断他的工作。儘管他是个曾染指政治的人，但他的威望以及他将数学套用于军事问题的才能保护了他，同时也归功于他显示出的一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。