卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯( 七 ) _生活百科

文章插图
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基

文章插图
捷克数学家波尔查诺

文章插图
挪威数学家阿贝尔

文章插图
法国数学家柯西

文章插图
德国数学家希尔伯特分析算术化Bolzano,Cauchy,Weiestrass和其他人的工作给分析提供了严密性。这些工作把微积分及其推广从对几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来。这些研究一开始就造成了巨大的轰动。据说，在巴黎科学院的一次科学会议上，Cauchy提出级数收敛性的理论，会后，Laplace急忙赶回家里避不见人，检查他在《天体力学》中所用到的级数，幸而书中用到的每一个级数都是收敛的。分析的严密化促进了这样的认识：对于数系缺乏清晰的理解这件事本身非补救不可。例如Bolzano关于闭区间连续函式的“零点定理”的证明，一个关键的错误就是因为对实数系缺乏足够的理解；对于极限的深入研究，也需要理解实数系。Cauchy不能证明他自己关于序列收敛準则的充分性，也是由于他对实数系的结构缺乏深入的理解。Weierstrass指出，为了要细緻地建立连续函式的性质，需要算术连续统的理论——这正是分析算术化的根本基础。1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，F.Kline提出了着名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），Weierstrass给出了处处连续但处处不可微函式的着名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：Dedekind“分割”理论；Cantor、Henie、Meray的“基本序列”理论，以及Weierstrass的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。努力建立实数的目的是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联繫的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联繫之后才能完全达到。这里，Dedekind的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“Dedekind分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。1858年，Dedekind在讲授微积分的时候就表示出要寻求使分析严格化途径的愿望，他说：“…决不能认为以这种方式引入微分学是科学的。这一点已经得到公认。至于我本人，也无法克制这种不满意的感觉而下定决心研究这个问题，直到建立为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全严格的基础为止。”Dedekind不去考虑如何定义无理数，才能避免Cauchy的恶性循环，而是考虑如果算术方法明显失败，在连续几何量中，究竟存在什幺使它解决了这个困难：即连续性的本质是什幺？沿着这个方向去思索，Dedekind了解到一条直线的连续性，不能用模糊的聚在一起来说明，而只能作为将直线用点来划分的性质。他看出将直线上的点分成两类，使一类中的每点都在另一类中每点的左边，则存在一点而只有一点，产生这个划分(cut) 。这对有序的有理数系是不成立的。这就是为什幺直线上的点构成一个连续统（continuum），而有理数则不可能。正如Dedekind所说，“由这样的平凡之见，暴露了连续性的秘密。”实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的构想，也终于在严格的科学意义下得以实现。接下来的目标是给出有理数的定义与性质。Ohm、Weierstrass、Kronecker、Peano在这方面做出了杰出的工作。在1859年前后，Weierstrass等人就认识到：只要承认了自然数，建立实数就不再需要进一步的公理了。因此建立实数理论的关键是有理数系，而建立有理数系的核心，就在于构造普通整数的基础并确立整数的性质。1872-78年间，Dedekind给出了一个整数理论。1889年，Peano最先利用公理化的方法，用一组公理引进了整数，从而建立了完备的自然数理论。Peano创设的符号，如“∈”表示属于，“ ”表示包含，N0表示自然数类，a+表示后继于a的下一个自然数，对今天仍影响深远。可谁能相信正是因为他在课堂上也使用这些符号，因而学生们造了反，他试着用全部及格的办法去满足他们，但没有起作用。因而他被迫辞去在Turin大学的教授职位。Kronecker说：“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”(God made the integers, all the rest is the work of man) 。(参考文献[5],p477)但是，在分析算术化的进程中，整数并没有因为是上帝的宠儿而得到它的豁免权。寻求统一是数学发展的重要动力。回溯“分析算术化”的整个历程，我们发现在起跑处人们并不知道终点在那里，也更不知道路该怎幺走。从Pythagrass学派关于不可公度量的发现，到Zeno悖论引发的对无限概念的关切，从而孕育了导致微积分的各种研究。当Dedekind、Cantor、Weierstrass等人把无理数建立在有理数的基础上，而最后由Peano给出自然数的逻辑公理，终于完成了有理数论,因此实数系的基础问题最终宣告完备。微积分学的基本概念——连续变数的极限：导数和积分，在逻辑上的严密性，在形式上的严谨性，有如Euclid几何学一般的令人讚叹！中国的先哲们有句古话：九九归一！如果我们把这里的“一”理解为自然数之首的“1”，那幺，关于微积分学的历史发展，Pythagoras的名言是惊人的贴切：万物皆数！（All is number.）1900年,在巴黎举行的第二届国际数学大会上，Poincare不无自豪的讚叹到：　“今天在分析中，如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结于纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了。”